К началу XX века здание математики было уже высоким и обширным, а вот его основание — непрочным. И всерьёз назрела задача — построить аксиоматику арифметики. Аксиомы нельзя выбирать как попало:
· Из них должны следовать привычные нам свойства чисел
· Аксиомы не должны противоречить друг другу (непротиворечивость аксиоматики),
· Аксиом должно хватать, чтобы о любом утверждении можно было судить, истинно оно или ложно (полнота аксиоматики).
Но в 1930 году Курт Гёдель (1906—1978) доказал две теоремы о неполноте, поразившие математический мир. Оказалось, что любая непротиворечивая система аксиом арифметики обязательно неполна, и безупречная аксиоматика арифметики невозможна. Гёдель сразу стал знаменит, и теперь его считают выдающимся мыслителем XX века.
Однажды свои выдающиеся способности он обратил на американскую конституцию. Дело было так.
В 1930-х годах Гёдель преподавал в Венском университете и не хотел покидать Вену, хотя с 1933 года почти каждый год ездил в США, где познакомился и подружился с Эйнштейном. Но после присоединения Австрии к Германии Гёделя уволили из университета, признали годным к воинской службе, и в 1940 году он уехал жить в США, — по Транссибу через всю Россию, затем через Манчжурию и Японию. В Америке Гёдель прекратил серьезные занятия логикой, а работал в области теории относительности, — дружба с Эйнштейном не прошла даром. Например, Гёдель обосновывал возможность путешествий во времени в прошлое.
В 1947 году Гёдель решил получить американское гражданство. Поручителями его были близкие друзья — Альберт Эйнштейн и Оскар Моргенштерн, один из создателей теории игр. Позднее Моргенштерн рассказал эту историю Соломону Феферману, а тот поделился ей в своей книге «In the Light of Logic».
Гёделю предстояло сдать обычный экзамен на гражданство, и он готовился к нему очень серьезно, дотошно изучая конституцию США. За день до экзамена возбужденный Гёдель пришел к Моргенштерну и сказал: «Я обнаружил логически законную возможность, с помощью которой Соединенные Штаты могут быть превращены в диктатуру». Моргенштерн считал этот вариант слишком нереалистичным, и несмотря на серьезность логических аргументов Гёделя, призвал его не упоминать о своем открытии на экзамене.
На следующее утро Моргенштерн отвез Геделя и Эйнштейна из Принстона в Трентон, где должны были состояться слушания по поводу получения гражданства. По дороге, чтобы отвлечь Геделя, Эйнштейн рассказывал забавные анекдоты, и, по-видимому, успешно.
Такие персоны как Эйнштейн и Моргенштерн произвели впечатление на судью, и он пригласил их на экзамен, хотя это было не принято.
Судья обратился к Гёделю:
— До сих пор вы были немецким гражданином,…
— Я австриец, — поправил его Гёдель.
— Во всяком случае, — продолжал судья, — это было во времена чудовищной диктатуры, ... но, к счастью, в Америке это невозможно.
— Напротив, — воскликнул Гедель, — я знаю, как это может случиться!
Все трое с большим трудом удержали Геделя от подробного рассказа, чтобы благополучно завершить слушания.
Гражданство Гёдель получил, но мы, к сожалению, так и не узнали, какие логические изъяны он нашёл в конституции США.
Нашёл ли он противоречивые высказывания в конституции? Или его смутила пятая статья, которая не особо ограничивает внесение поправок в конституцию? А может быть, Гёдель ошибся?
Мы не можем теперь этого проверить. Как не можем проверить, было ли у Ферма доказательство его великой теоремы, на которое он намекнул на полях диофантовой «Арифметики».