Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я думаю, каждый из Вас слышал о таких свойствах математических операций, как ассоциативность и дистрибутивность: их изучают еще начальной школе, когда вбивают в мозг ребенка, что (а+b)+c = a + (b+c), и a (b+c) = ab + ac.
Однако есть одно свойство, о котором в школьной программе прямым текстом не упоминается, хотя математические операции, которые им обладают широко применяются в школе. Поговорим об идемпотентности. Поехали!
Впервые термин "идемпотентность" предложил американский математик Бенджамин Пирс. Он происходит от слов "idem" - тот же самый и "potens" - способный. Иными словами - давать тот же результат при повторном применении операции или, по-научному, быть инвариантом. Как и когда? Давайте на примерах:
- Сложение с нулем - действительно a = а+0 = (а+0)+0 = .... . Умножение на ноль не идемпотентно, ведь 5 не равно 5*0 = (5*0)*0 = ...
- Умножение на единицу - ведь a = a*1 = (a*1)*1 = ...
- Операция взятия модуля числа - |x| = |(|x|)| = |(||x||)| = ...
- Операция выбора максимального значения - max (x,y)= max(max(x,y),y) = ...
- Возведение в единичную степень, сложение по модулю два с нулём (см.рис) ;
- Нахождение остатка от деления (см. рис).
Выше речь шла, в основном об идемпотентных операциях, но в общей алгебре есть понятие идемпотентного элемента, который сохраняется при умножении сам на себя. В это понятие углубляться не будем, потому что тогда надо изучить некоторые другие понятия, например, группы и полугруппы. Я, кстати, начинал уже подводить Вас к знакомству с абстрактной алгеброй, выпустив статьи:
В заключении хотел бы отметить, что существует и идемпотентная алгебра - современная ветвь математики, которая широко применяется в моделировании процессов в сетях массового обслуживания. Её основное преимущество в простоте - с помощью определения исключительно идемпотентных операций на абстрактных множествах чисел удается сводить многие сложные задачи, например, к решению линейных уравнений. Даже такая, казалось бы, максимально отвлеченная от реальности математика носит прикладной характер.
Любите математику! Спасибо за внимание!