Легендарная математическая задача о 7 мостах Кёнигсберга

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу вспомнить об одной решенной математической задаче, способы примененные Леонардом Эйлером для решения которой, стали фундаментом для создания чрезвычайно важного и имеющего прикладное значение направления математики - теории графов. Что бы Вы не делали в современном мире, всё пронизывается её хитросплетениями. Посмотрим же, как всё начиналось. Поехали!

Источник: https://pbs.twimg.com/media/Czv6PCJWIAISO8u.jpg

Итак, по легенде один из жителей Кенигсберга спросил у своего товарища, сможет ли он пройти во всем мостам, связывающим островки на реке Преголь и вернуться в ту же самую точку, побывав на каждом мосту ровно один раз ?

Решить на практике эту задачу никто из жителей не смог. Покорилась она лишь Эйлеру, в то время работавшему в Петербурге. Легендарный математик не только расставил все точки над i, но и разработал общий принцип решения таких задач.

Изначальные семь мостов "стянулись" в четыре точки. Источник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/126b/000703c2-a404c5d7/hello_html_4eff629b.png

Эйлер схематически изобразил структуру, которую образуют мосты и назвал её "графом". Точки на нём он назвал "вершинами", а соединяющие их линии - "ребрами".

Ключевая догадка Эйлера состояла в том, чтобы подсчитать, сколько ребер выходит из каждой вершины. На нашем рисунке:

• из 1-ой - выходит три ребра;
• из 2-ой - пять ребер;
• из 3-ой - три ребра;
• из 4-ой - три ребра.

Все четыре вершины графа оказались "нечетными".

Немного поэкспериментировав, Эйлер вывел четыре основных правила для решения таких задач:

1. Число нечетных вершин графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечетное число нечетных вершин. (можете попробовать на досуге).

2. Если у графа все вершины четные, то его можно начертить одним росчерком пера, причем неважно, где начинать.

У этих графов все вершины четные. Источник: https://mujeresconciencia.com/app/uploads/2019/04/1920px-Friendship_graphs.svg_.png

3. Если у графа две нечетные вершины, то его можно начертить одним росчерком пера, но начинать надо в одной из нечетных вершин, а закончить в другой.

4. Граф с более чем двумя нечетными вершинами построить одним росчерком пера невозможно.

Посчитал для Вас вершины. Теперь Вы знаете, что можно, а что нельзя начертить.

Я думаю, Вы уже догадались, что задача о мостах Кёнигсберга решений не имеет, ведь в ней целых четыре нечетных вершины! Однако в наших силах, вооружившись новыми знаниями, "дополнить" архитектурные изыски Калининграда таким образом, чтобы разрешить проблему:

Теперь проблем возникнуть не должно! Спасибо за внимание!

Читайте также:

• Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
• Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"