Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Про натуральные числа я уже рассказывал на своём блоге, и тогда эта тема вызвала оживленные дискуссии, особенно по причине принадлежности к данному множеству нуля. С практической точки зрения натуральные числа используются для счета предметов, а значит и, если считать нечего, то и 0 натуральным числом быть не может.
В математике этот спор идет давно, а единой позиции так и нет. Лично я придерживаюсь позиции, чтобы считать ноль натуральным числом, потому что само построение натуральных чисел непременно использует 0 как фундамент всего. Сейчас я и расскажу о таком варианте построения, использующем теоретико-множественный подход. Поехали!
Всего основа - пустое множество
Понятие множества как совокупности элементов позволяет всей математике говорить на одном языке. Фактически, это - универсум, всеобщий язык, подобный эсперанто.
А что есть язык математики? В первую очередь - это числа.
Представьте, что натуральных чисел не существует, а есть лишь некие объекты, которые мы еще не умеем считать, не можем ввести отношения порядка между ними и не знаем никаких математических операций. С чего начать их построение?
В теории множеств Цермело-Френкеля мы отталкиваемся от определения пустого множества, которое не содержит ни одного элемента. Символу "0" мы как раз его и сопоставляем (в принципе, сама символика вторична, и может быть какой угодно, например, вместо этого подходит любой набор палочек, букв и т.д.). Получаем вот что:
0 = {} = Ø - с этого момента рекурсивная дорога вперед уже открыта.
Хм, теперь мы можем записать новое множество, обозначив его символом "1", содержащее элемент "0":
1 = {0} = {Ø} - такое множество, единственным элементом которого является пустое множество и пошло-поехало.
Следующими символами "2" и "3" мы определяем такие конструкцию:
2 = {0,1} = {Ø, {Ø}}
3 = {0,1,2} = {Ø, {Ø}, {Ø {Ø}}} и так далее
Обратите внимание, что в таком определении каждый символ соответствует количеству элементов множества, или, по-другому, мощности множества. А это как раз то, что мы и хотели! Теперь мы можем легко сопоставлять объекты символам. Иными словами, мы изобрели натуральные числа!
Более того, мы уже фактически определили на этом множестве порядок, ведь теперь мы можем легко сравнивать числа, опираясь на их теоретико-множественное представление, например:
2 < 4 , потому, что в множестве, обозначенном символом 4 = {Ø, {Ø}, {Ø {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø {Ø}}}} содержится множество с символом 2 = {Ø, {Ø}}, и они не равны между собой!
А что с математическими операциями?
1 + 1 = {Ø} + {Ø} = {Ø, {Ø}} = 2
1 + 1 + 1 = {Ø} + {Ø} + {Ø} = {Ø} + {Ø, {Ø}} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} = 3 = 2 + 1
Таким же образом, через добавление "единичек" формируются все возможные суммы на множестве натуральных чисел. Умножение же будет эквивалентно применению операции сложения некоторое количество раз:
2 * 2 = 1 + 1 +1 + 1 = {Ø} + {Ø} + {Ø} + {Ø} = {Ø, {Ø}} + {Ø} + {Ø} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} + {Ø} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}} = 4
Конечно, теория слегка запутанная, но её красота в фундаментальности. Получается, что в математике нам вообще больше ничего не требуется, буквально, всё делается на пустом месте, так почему же 0 не считать натуральным! Спасибо за внимание!