Есть такое довольно распространенное заблуждение: раз движущийся с высокой скоростью объект обладает большой энергией, которая входит в тензор энергии-импульса в правой части уравнения Эйнштейна, то он создает очень сильное гравитационное поле (кривизну пространства-времени) и может даже стать черной дырой, образовав горизонт событий. Давайте разберемся, почему это не так.
Оглавление рубрики "Гравитация..."
На самом деле, в тензор энергии-импульса и вправду входит релятивистская энергия, которая растет до бесконечности с ростом скорости вплоть до скорости света. Еще туда входит импульс (тоже растет) и поток импульса (и он тоже). Однако само по себе это ничего не означает: считать надо. Формально и шарик меньшего радиуса имеет радиус меньше, чем шарик большего радиуса, и в знаменателе формулы Ньютона стоит меньшее число. Однако в числителе будет еще меньшее, так что в целом маленький шарик притягивает слабее, чем большой, при той же плотности.
Принцип общей ковариантности означает, что тензорные соотношения сохраняются при переходе к другим координатам. В частном случае это независимость уравнений от выбора начала отсчета, направлений осей, единиц измерения: довольно очевидная вещь. Причем это автоматически выполняется, если соотношение тензорное: если два тензора равны в одной системе координат, они равны в любой другой.
Так бывает не всегда: например, произведение компонент вектора не инвариантно и, следовательно, через тензорные операции выражено быть не может.
Ну хорошо, взяли мы суперпушку-рельсотрон и разогнали рельсу массой в 100кг до релятивистской скорости, придав ей огромную энергию. Почему же она не искривит пространство и не станет черной дырой, всосав в себя Солнце?
Выберем систему отсчета (координаты), связанную с рельсой. В ней она покоится, обладая энергией покоя mc². Правда, энергия эта по космическим меркам очень невелика. Проводим расчет и определяем тензор кривизны Риччи (тензор Риччи, а не кривизна), метрический тензор и уравнения геодезических любых тел. Они, геодезические, будут практически прямыми, так как гравитация рельсы очень мала. Теперь переходим в координаты внешнего наблюдателя: это гиперболический поворот, то есть просто некоторый поворот координатных осей. Повернутая прямая останется прямой! Правда, там ещё и время сильно замедлено. В итоге, с одной точки зрения ускорение мало, потому что кривизна мала, а с другой - кривизна велика, но время замедлено, так что изменение скорости большое, но за долгое время, и ускорение опять-таки мало.
Ну, а все-таки! Почему большие множители при тензоре энергии-импульса, которые там таки есть, не влияют на результат? Давайте проследим.
В лоб считать не будем, потому что громоздко. Прибегнем опять к общей ковариантности.
Рассчитав метрический тензор g в удобных (связанных с рельсой) координатах, мы получим нечто очень близкое к метрическому тензору плоского пространства-времени g₀. В нем, плоском пространстве-времени, интервал (сиречь расстояние между пространственно-временными событиями) выражается формулой dx² - c²dt² (для простоты оставил только одно пространственное измерение). То есть метрический тензор есть диагональная матрица, на диагонали которой стоят числа -1 и 1. Умножая ее на вектор (cdt,dx) и полученный вектор опять на него, придем к формуле для интервала. А полученный для рельсы тензор отличается от плоского слабо: на некоторый тензор ε с маленькими компонентами. Немаловажно, что производные у него тоже маленькие, поскольку мала кривизна, а она выражается как раз через производные (о чем ниже).
Теперь преобразуем этот тензор g в другие координаты, в который рельса быстро движется. Кстати, двигаться может эта система отсчета, это же относительность движения. Уже отсюда ясно, что гравитация рельсы никак не зависит от того, кто ее рассматривает и как он движется относительно этой рельсы или чего-то ещё.
Преобразование вектора — это умножение на матрицу C перехода, в нашем случае на матрицу гиперболического поворота, в которой стоят гиперболические синусы и косинусы некоторого параметра s, зависящего от скорости одной системы отсчета относительно другой. Чтобы преобразовать тензор, надо умножить его на матрицу дважды. Или, что то же самое, умножить на квадрат C² этой матрицы, в котором на диагонали стоит cosh²(s)+sinh²(s). Вне диагонали есть множители вида 2cosh(s)sinh(s). Можно вынести косинус в квадрате и выразить его через тангенс (который имеет смысл скорости v/c):
cosh²(s) = (1-tgh²(s))⁻¹ = (1-v²)⁻¹, с=1.
Именно он и приводит к большим числам, когда v близка к с. Внутри матрицы же остаются числа порядка единицы.
Однако наш метрический тензор g состоит из двух слагаемых: плоского g₀, который постоянен, и маленького ε, который и отражает незначительную кривизну, создаваемую рельсой. Умножаются эти два слагаемых на постоянную матрицу перехода C².
В уравнение геодезической метрика g=g₀+ε входит только в виде символов Кристоффеля:
В скобках стоят производные компонент метрического тензора: постоянная часть обратится в нуль и на геодезическую никак не повлияет. Перед скобкой стоит метрический тензор с поднятыми индексами: по сути, это обратная к метрическому тензору матрица, и у нее множитель будет маленький: 1/cosh(2s). Он и сократится с большим, который стоит при производных от ε в скобках. В итоге в уравнениях геодезической вообще не будет параметра s, то есть скорости тела в какой-бы то ни было системе отсчета. Точнее, он там будет, но только в знаменателе, и можно, пользуясь малостью ε, этими слагаемыми и пренебречь.
Вот и всё. Рекомендую статью коллеги, к которой я добавил немного технических рассуждений, которые вы вряд ли легко где-либо найдете.
Последнее замечание. Малость добавки ε и ее производных мы фактически не использовали. Просто для массивных объектов геодезические пробных тел будут заметно искривлены и в разных системах отсчета будут описываться по-разному, однако никакой дополнительной кривизны, разумеется, не возникнет. Особенно понятно это на примере тел малой массы, например, рассмотренной рельсы.