Существует ли математика, которой никто не знает?
Многие профессиональные математики считали, что так оно и есть — Роджер Пенроуз, например, или Курт Гёдель. Эдуард Френкель в книге "Любовь и математика" так прямо и пишет:
Рядом с нами существует тайный мир — скрытая параллельная Вселенная, полная красоты и гармонии, тесно переплетенная с нашей. Это мир математики.
У этой платонической позиции есть уязвимость: ну хорошо, математика существует сама по себе, а люди ее постепенно открывают. Но тогда математики играют роль этаких экстрасенсов, чудом вступающих в контакт с этим идеальным миром математики.
Математики одновременно и строят математику, и открывают ее.
Время от времени бывают поворотные открытия — тут важна и личность ученого, и даже случай. В точности, как писал об этом Пушкин:
А когда первый шаг уже сделан, золотоносная жила открыта, можно планомерно работать по плану и строить здание математики.
Например, греки еще до нашей эры умели строить конические сечения и решать диофантовы уравнения, но не имели представления о графах. Почему? Просто не пришло в голову. Азы теории графов вполне можно объяснить смышленому младшекласснику, дело не в сложности. Надо было дождаться Эйлера, чтобы он приложил руку к этой теме. Эйлер построил новую математическую модель. А вслед за ним многочисленные последовательности открывали ее свойства и возможности. По дороге приходилось строить и другие элементы теории, открывать их свойства и связи с другими математическими объектами.
История математики говорит о том, что в ней были тупиковые направления, вроде римских цифр и египетских дробей. Если бы римляне сразу приняли систему счисления с 10 цифрами, то не построили бы правила действий со своими значками, которые казались им столь важными. И математику вполне можно было построить и без римских цифр. Не все этапы развития математики были необходимы. Скорее всего, часть сегодняшней математики будет забыта нашими потомками за ненадобностью.
Есть примеры разного развития математики в изолированных культурах. Например, средневековая геометрия в Японии создавалась не так, как в Европе. Японские таблички сангаку совсем не похожи на рисунки в наших учебниках геометрии. Это тоже говорит о том, что развитие математики не предопределено.
Наша математика дает эффективные инструменты для решения многих задач, но это не значит, что не может существовать других инструментов. Например, в 20 веке создали математику клеточных автоматов. Они позволяют моделировать и обсчитывать различные явления, но совсем не так, как это делает математический анализ. Клеточные автоматы не задаются формулами, как привычные нам функции, но тоже могут быть эффективными.
Математика развивалась путями извилистыми, непрямыми. Одни задачи тысячелетиями ждали своего решения, а другие еще дольше ждали, пока их наконец поставят. Некоторые тупиковые ветви столетиями не желали отступать. Полезные знания иногда забывались, чтобы их переоткрыли спустя долгое время, когда общество созреет. В развитии математики свою роль играли и случай, и мода, и личный вклад отдельных ученых.