Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу показать Вам решение довольно-таки необычной задачи, в которой наметанный глаз сразу определит необходимость перехода к комплексным числам. Итак, поехали!
Требуется найти значение выражения при исходных данных:
Почему сразу виден переход в сторону комплексных? Уж очень в лицо бросаются конструкции справа, которые намекают, что справа стоит что-то похожее то ли на аргумент комплексного числа, то ли на его модуль в знаменателе. В целом, этот путь является даже на первый взгляд перспективным.
Первый ход, который мы сделаем, - это домножим первое уравнение на мнимую единицу и сложим со вторым уравнением:
Здесь у нас вырисовывается, что выражение слева - это просто число, обратное некоторому комплексному числу z, записанному в алгебраической форме. Наша задача - это число найти, а затем и вычислить сумму модулей его действительной и мнимой частей.
Для этого нужно вынести за скобки переменные и найти общий множитель:
Если непонятно, то мы применили ход с разложением обыкновенной единицы:
Теперь приступаем к дальнейшим преобразованиям:
Хотелось бы выделить полный квадрат в знаменателе, что сильно упрощает решение. Воспользуемся для этого проверенным методом неопределенных коэффициентов:
Осталось привести выражение справа к стандартной алгебраической записи и получить ответ: