Книга математика Мориса Клайна ‘Математика. Утрата определенности‘ дает хорошее представление о доказательстве в математике. Преимуществом книги является рассмотрение отношения к доказательству в контексте истории развития математики. С этой точки зрения книгу можно отнести к интеллектуальной истории и отметить, что она подтверждает известное высказывание Робина Коллингвуда ‘невозможно понять естественные науки без понимания истории’.
Дедуктивное доказательство в духе геометрии Евклида считается идеалом достоверного знания. В качестве примера можно взять философа Томаса Гоббса, который познакомился с геометрией в 40 лет. Он увидел теорему Пифагора, которая показалась ему неверной, но при внимательном чтении доказательства он понял, что теорема правильная. Это настолько поразило философа, что он впоследствии старался всегда вести аргументацию в духе дедуктивного доказательства. Правда, следует отметить, что его попытки квадратуры круга не произвели впечатления на математиков.
Морис Клайн в книге разбирает ‘нелогичное развитие логичнейшей из наук’. Он обращает внимание, что развитие арифметики, алгебры, введение отрицательных и комплексных чисел, разработка аналитической геометрии, анализа и многих других областей математики в отличие от геометрии не было связано с дедуктивными доказательствами. Развитие этих математических идей было вызвано практическими нуждами, а обоснованием их правильности служило скорее успешное использование полученных «рецептов» при решении практических задач.
Далее: http://blog.rudnyi.ru/ru/2023/01/kline-the-loss-of-certainty.html