Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В обычной школьной геометрии мы говорили, в целом, о двух сущностях. С одной стороны - о вопросах равенства геометрических фигур, а с другой - о вопросах их же подобия. Однако в том и ином случае, мы имели дело с некоторыми величинами: отрезками, углами, периметрами и площадями, а ключевым понятием являлась конгруэнтность, и преобразования, её сохраняющие.
Введение
Так или иначе все такие преобразования суть движения плоскости:
- параллельные переносы;
- симметрии;
- повороты.
На рисунке выше показан параллельный перенос, в ходе которого не изменились ни величины сторон, ни площади, да и сами фигуры абсолютно эквивалентны.
Вместе с тем, легко придумать преобразование плоскости, при котором всё будет не так однозначно. Например, возьмем окружность и сожмём её в направлении сверху-вниз:
Очевидно, что окружность превратилась в эллипс, а значит теперь не все точки, лежащие на нём равноудалены от центра. В силу вступило уже другое отношение:
Теперь неизменной стала величина, равная сумме расстояний от точки эллипса до двух точек, называемых фокусами. Но с другой стороны преобразование сохранило не только величины, но и некоторые отношения. Например, совершенно очевидно, что:
Еще можно обратить внимание на величины углов между отрезками, которое несомненно изменились
В любом случае можно поставить вопрос о том, какие преобразования в геометрии на плоскости сохраняют либо величины, либо некоторые соотношения. Это занимательное наблюдение легло в основу рассуждений великого Феликса Клейна.
К середине XIX века геометрия разделилась на множество различных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, конформная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.
Основная часть
Понятие, о котором я хочу рассказать относится к т.н. проективной геометрии - геометрии, которая переводит прямые в прямые. Не смотря на то, что проективная геометрия в школе не изучается, концептуально её идеи понятны и наглядны:
Так что же является инвариантом этой геометрии? Давайте разберемся. Рассмотрим простой рисунок:
Здесь мы центрально спроектировали четыре точки одной прямой на четыре точки другой прямой. Очевидно, что расстояния (величины) изменились, углы (величины), под которыми пересекают прямые лучи проектирования, также изменились. Таким образом, можно прийти к идее, что не изменилось некоторое отношение. Давайте его найдем!
Отсюда можно заметить, что:
Таким образом, это отношение зависит только от углов при вершине О, которые и для одной и другой прямой - одинаковы. Следовательно, можно утверждать, что инвариантом проективной геометрии является двойное отношение:
Двойное соотношение можно модернизировать так, чтобы оно давало дополнительную информацию о взаимном расположении точек на прямой. Для этого на ней нужно выбрать направление:
Так же интересны два крайних значения двойного отношения:
В этом случае точки C и D совпадают. В противоположной ситуации:
В таком случае говорят, что точки C и D гармонически сопряжены относительно пары точек А и B.
Примечательно, что различных двойных отношений всего 6 штук:
Проективная геометрия - очень красивая наука. Достаточно сказать, что в ней, имеют осязаемое место и используются понятия "бесконечно удаленная точка", "бесконечно удаленная прямая" и "бесконечно удаленная плоскость". Впрочем, это уже совсем другая история.