И вообще, откуда взялась магия таблицы умножения на 9, про которую принято говорить, что о ней не рассказывают в школе (на самом деле, конечно, рассказывают, просто нам нравится быть избранными).
Все её полезные свойства связаны с тем, как мы записываем числа с помощью десяти цифр. Напомню, что числа, не превышающие 9, мы записываем одной из десяти цифр, а те, что больше, разбиваются на разряды. Например, двузначное число 24 "собирается" из двух однозначных чисел 2 и 4 таким образом:
24 = 2×10+4.
Число 10 называется основанием системы счисления и соответствует количеству используемых цифр. Основание, вообще говоря, может быть любым натуральным числом больше единицы. Цифра 9 последняя в десятичной системе. Скажем, в системе счисления с основанием 8 последней цифрой будет 7, а в троичной системе роль девятки играет единица.
Давайте рассмотрим систему счисления с основанием b. Будем записывать цифры числа, как список в квадратных скобках, например, 123 = [1, 2, 3]. Посмотрим, что будет при сложении и при перемножении двух чисел (b − 1), состоящих из последней цифры в системе:
(b − 1) + (b − 1) = 1×b + (b − 2) = [1, b − 2]
(b − 1)×(b − 1) = b² − 2b + 1 = b×(b − 2) + 1 = [b − 2, 1]
Как видим, цифры меняются местами и дают в сумме число, равное b − 1, в любой системе счисления!
Если b = 10, то
9 + 9 = [1, 10 − 2] = 18,
9 × 9 = [10 − 2, 1] = 81.
Если b = 8, то
7 + 7 = [1, 8− 2] = 16₈
7 × 7 = [8 − 2, 1] = 61₈.
Наконец, при b = 3, результат состоит из двух единиц, но они, в некотором смысле, тоже поменялись местами:
2 + 2 = [1, 3 − 2] = 11₃
2 × 2 = [3 − 2, 1] = 11₃.
Теперь нетрудно объяснить и то, как устроена таблица умножения на последнюю цифру. При умножении однозначного числа a на b − 1 получится такое число:
(b − 1)×a = b×a − a = b×(a − 1) + (b − a) = [a − 1, b − a].
В сумме цифры этого числа должны давать b − 1, то есть, "девятку" для любого a. Например,
9×6 = [6 − 1, 10 − 6] = [5, 4] = 54, 5 + 4 = 9
Или в восьмеричной системе:
7×5 = [5 − 1, 8 − 5] = 43₈, 4 + 3 = 7
Наконец, поскольку 9 -- это последняя цифра, то 10 при делении на 9 даёт в остатке 1. При возведении единицы в любую степень снова получается единица, так что и все степени 10 тоже при делении на 9, дадут остаток 1. А это значит, что любое число число вида
1000a + 100b + 10c + d,
при делении на 9, будет давать остаток a + b + c + d, то есть, сумму цифр числа, или его цифровой корень. С этим свойством связан способ проверки арифметических выражений, в котором сравниваются цифровые корни результата и действий, произведённых над цифровыми корнями чисел.
Например, если мы вычислили, что 123×654 − 479 = 79963, то можем проверить сами себя, заменив все числа их цифровыми корнями: 123 → 6, 654 → 6, 479 → 2, 79963 → 7. Вот во что превратится весь пример 6×6 − 2 = 7 или 34 = 7. Цифровые корни правой и левой части совпадают, значит, скорее всего, мы вычислили правильно (но это не точно).
Конечно, этот же приём будет работать в любой системе счисления. Так что число девять не обладает какими-то уникальными свойствами, а просто занимает особую позицию в десятичной системе счисления.