Я люблю числа. Не настолько, чтобы профессионально заниматься с ними теорией чисел, но достаточно, для того чтобы получать удовольствие от возни с ними.
Вместо закладки, при чтении книг, я использую номер страницы, а запомнить это число мне помогает разложение его на множители. Пока вертишь число и так и эдак в уме, смотришь, из чего оно состоит и на что похоже, волей-неволей запомнишь и его самого и его "характер". Особенно радует, если внутри числа оказывается "закопан" какой-нибудь большой простой множитель: 41 или 67.
Когда на уроке получается численный результат, я спрашиваю учеников: "На что похоже это число?" или "Чем оно примечательно?". Примечательными при этом могут быть квадраты или кубы чисел, степени двойки, хорошо делящиеся числа, вроде 60. Дробное число может быть близким к "хорошей" дроби, скажем, 6/13 близко 1/2, или 41/63 похожа на 42/63, то есть, на 2/3. При этом важно отметить бóльшим или меньшим получилось "округлённое" число.
Наконец, я из тех, для кого 2 часа 50 минут это "без десяти три". То есть, это скорее три, чем что бы то ни было ещё.
Если, например, дробное число близко к единице, то оно и будет себя вести подобно единице. То есть, оно будет незначительно изменять множитель и почти не изменится при возведении в степень, или при обращении. Скажем, число 20/21 достаточно близко к единице —разница между числителем и знаменателем имеет порядок 5%. Эту близость можно подчеркнуть, выразив дробь в виде разницы: 20/21 = (21 – 1)/21 = 1 – 1/21.
Когда это может понадобиться? Например, при оценке результата решения задачи, если встречаются величины, близкие к единице с разных сторон:
21/20 + 20/21 ≈ 2 (на самом деле: 1 + 1/20 + 1 – 1/21 = 2¹/₄₂₀).
21/20 – 20/21 ≈ 1/10 (на самом деле: 1 + 1/20 – 1 + 1/21 = (21+20)/420 = 41/420).
Наконец, при решении школьных примеров, приближение к целому помогает уменьшить числитель дроби, а значит, немного упрощает вычисления. Это не значит, что всегда полезно делать именно так! Но всегда полезно внимательно относиться к тому с чем приходится иметь дело: к тому, что вы чувствуете, к тому, что говорит собеседник, к тому что вас окружает, и к тем числам, которые встречаются в жизни.
Так приятно понимать, что 64 и 63 оказались рядом не случайно, ведь 8×8 и (8 + 1)×(8 – 1), действительно, должны отличаться на единицу из-за чудесной особенности разницы квадратов.
Все эти нюансы и маленькие упражнения развивают так называемое чувствование чисел (number sense). Это не столько хорошая память, сколько умение хорошо ориентироваться в своей памяти. Есть исследования, показывающие, что ориентирование в пространстве и решение математических задач, в том числе, числовых, задействует одни и те же участки мозга, а именно, гиппокамп, отвечающий, в целом, за работу с памятью. Развивая эту нейрофизиологическую систему либо с помощью математики, либо через спортивное ориентирование, мы помогаем нашему мозгу взаимодействовать с универсальными картами памяти, накапливающимися по мере накопления жизненного опыта. Кроме того, эти навыки позволяют строить и использовать на подсосзнательном уровне (на уровне дефолт-системы) более сложные карты местностей, фактов, отношений.
Можно выделить три основных способа развить в себе чувствование числа: устный счёт, исчисление пропорций и соотнесение частей и целого. Так что считайте, играйте с числами, раскладывайте их на слагаемые и на множители, переводите минуты в часы, копейки — в рубли, а жизнь — в счастье! Помните, это можно делать не для хороших оценок, а для хорошего мозга.