Танковое инженерное против Физтеха

или задачка про лягушек (теория вероятностей)

еще раз не по теме, но тоже интересно

Продолжая испытывать любовь к математике, поглядываю интересные видео по предмету. В ролике математика Бориса Трушина из цикла «В интернете кто-то неправ» посмотрел разбор задачки из теста «на настоящий ген физтеха» (при желании можно потестироваться, без регистрации и SMS!). Задача по теории вероятностей вызвала бурление масс, т. к. многие несогласны с вариантом решения авторов теста.

Как только Борис озвучил условие, мне и без решения стал очевиден верный ответ, который Борис далее подтвердил своим решением. Как он это сделал можно посмотреть на видео, а я, считая его путь решения нерациональным (т.к. длинноват и в нем содержатся сложные для многих рассуждения; впрочем, способ решения задали авторы задачи, Трушин исправил ошибки в их способе решения), хочу привести несколько своих вариантов.

Условие задачи

(скопировано из теста)

Вы заблудились в тропическом лесу и в попытке выжить съедаете ядовитый гриб. Противоядие находится лишь в определенных видах лягушек. Их достаточно лишь лизнуть, и вы здоровы. Но антидот содержится только в женских особях.

К сожалению, мужские особи и женские внешне ничем не отличаются. Разница лишь в том, что мужские очень странно квакают – «кукареку».

Вдруг неподалеку вы слышите кваканье мужской лягушки – «кукареку!!!». Вы подходите к тому месту и видите 2-х ничем не отличающихся синих лягушек – тот самый спасительный вид!

Если вы лизнете сразу двух лягушек с какой вероятностью вы спасетесь?

Начнем с того, что условие задачи неполное, т. к. нам следует догадываться, что случайная лягушка самцом или самкой должна быть равновозможно. Будем считать, что это следует из контекста.

Решение авторов теста

Решение на скриншоте, где также видно, какой вариант авторы теста считают верным:

Повторим буквами:

У вас есть четыре разных комбинации. ММ, МЖ, ЖМ, ЖЖ (М-мужская особь, Ж-женская особь). Но так как мы слышали мужское кваканье вариант с ЖЖ мы откидываем. Получается, что в двух из трех оставшихся вариантах будет спасительный женский пол.

Вместе с тем, при определенной трактовке условий, отличной от авторской, этот ответ может быть верным. Задачу комментирует известный популяризатор математики, физтех, Борис Трушин.

Авторы теста увидели критику решения своей задачи и даже добавили соответствующий комментарий, но свой неверный вариант решения оставили в качестве верного, сославшись на то, что могут быть трактовки условия, отличные от авторской! На самом деле это нежелание признать фиаско, условие вполне однозначное (за исключением отсутствия указания, что в популяции синих лягушек самцы и самки соотносятся 50/50, но это не оказывает влияние на суть дискуссии) и не может иметь никаких трактовок, приводящих к разным верным результатам решения.

Верный результат один!

Мои варианты решения

Упрощаем условие

Читавший на моём курсе в КВТИУ лекции по высшей математике доцент Карачун В. Я., в задачах по теории вероятностей (ТВ) настоятельно рекомендовал в первую очередь упрощать условие, выкидывая из него все те лишние подробности, которые никак не влияют на суть, но мешают пониманию. Верное упрощение и понимание условия задачи — 80% успеха в решении задач ТВ.

Преподававший моему отцу в Военной академии БТВ профессор Пискунов Н. С., в своём двухтомнике писал: «Многие задачи теории вероятности можно свести к «схеме урн». Поэтому на задачи о вынимании шаров из урн следует смотреть как на задачи обобщенные» [1, c. 438].

Воспользуемся обоими советами. Итак.

Мой вариант условия задачи:

В урне лежат два шара. Достоверно известно, что один из них черный (лягушка-М), а другой равновозможно может быть черным или белым (лягушка-Ж с антидотом).

Если оба шара достать из урны (лизнуть обе лягушки), то какова вероятность того, что среди них будет белый шар (спастись)?

Кто не согласен, что с точки зрения математики это точно такое же условие, напишите в камментах, какой я дурак ;-)

Решение 1

Это решение очевидное, интуитивно понятное, сразу пришедшее мне в голову, когда Трушин озвучил в ролике условие задачи.

Если уже известно, что один из шаров черный (событие Ч), то рассматривать его не имеет смысла, он уже не белый и положительный исход (есть белый шар — событие Б) от него не зависит. Значит положительный исход зависит только от одного шара, для которого цвет заранее неизвестен (шар неизвестного цвета — событие Н).

Для события Н элементарные события Ч и Б противоположны (т.е. они несовместны и образуют полную группу событий), а значит вероятности событий можно записать так:

Р(Н) = Р(Ч) + Р(Б) = 1.

Поскольку Ч и Б равновозможны по условию, то Р(Б) = Р(Ч) = 1/2.

Ответ:
Р(Б) = 1/2 или 50%.

Однако, «истинные математики», привыкшие формально считать соотношение числа положительных исходов к числу всех возможных, с таким интуитивно и логически понятным решением могут не согласиться.

Решение 2

Если сразу отбросить черный шар из рассмотрения для истинных математиков ересь сие, то рассмотрим решение для двух шаров.

Событие «вынуты оба шара» обозначим А.

Событие А включает в себя два совместных* события: Ч (один из шаров черный) и Н (другой шар неизвестного цвета).

Вероятность события «в урне есть белый шар» для совместных событий Ч и Н можно рассчитать по формуле.

Ответ:
Р(Б | А) = Р(Б | Ч) + Р(Б | Н) − Р(Б | Ч) × Р(Б | Н) = 0 + 1/2 − 0 × 1/2 = 1/2.

Здесь Р(Б | А) — вероятность события Б при условии, что произошло событие А. Остальные обозначения аналогичные.

Очевидным образом, если событие «излечение» обозначить И, то:
Р(И) = Р(Б | А).

Примечание: * события Ч и Н очевидно совместные, т.к. оба шара из урны вынимаются одновременно.

Решение 3

Только один из шаров (Н) может быть белым. Поэтому вероятность вынуть белый зависит от вероятностей Р(Н) и Р(Б | Н). Т. к. вынимаются оба шара, то Р(Н) = 1.

Ответ:
Р(Б | А) = Р(Н) × Р(Б | Н) = 1 × 1/2 = 1/2.

Решение 4

Из двух возможных исходов: (Ч, Б) и (Ч, Ч), благоприятный один.

Ответ: 1/2.

Примечание: т. к. шары вынимаются одновременно, то порядок их размещения не имеет значения, поэтому (Ч, Б) ⇔ (Б, Ч). Это для многих, в т. ч. авторов задачи, может быть не очевидным, поэтому см. следующие решения.

Решение 5

Для любителей перебирать варианты с учетом порядка размещения.

Обозначим шары в урне как «левый» и «правый». Известным черным шаром может быть как левый, так и правый.

Варианты сочетания шаров получаются следующие.
если известный черный шар левый:
Ч, Б
Ч, Ч
если известный черный шар правый:
Б, Ч
Ч, Ч.

Белый шар встречается в двух комбинациях из четырех.

Ответ:
Р(Б | А) = 2/4 = 1/2.

Критика авторского решения

Вариант критики 1

Для начала, как авторы рассуждали при решении задачи.

Есть две позиции, на которых могут быть расставлены черные и белые шары, это набор таких исходов:

Ч, Ч
Ч, Б
Б, Ч
Б, Б

Такой набор получается когда пары формируются выниманием двух случайных шаров из двух урн, в каждой из которых черных и белых шаров поровну. Аналогично получается набор при подбрасывании двух монеток (орёл-решка).

И этот набор прекрасно работает для задач вроде «какова вероятность, что оба черные?» (1/4), «какова вероятность, что есть белый?» (3/4), «какова вероятность, что один белый?» (1/2).

Но у нас набор формируется иначе! У нас одна урна с двумя шарами. Когда мы поочередно вынимаем из нее шары, расставляя их в левую и правую позиции, то каждый раз работаем с конечным числом шаров № 1 и № 2. Когда шары в урне Ч и Б, то авторы считают, что:
(Ч, Б) ≠ (Б, Ч) и в своем решении используют как два разных варианта.

Возникает закономерный вопрос: если в урне два черных шара, то не точно ли так же они будут формировать не один, а два варианта? Чтобы было проще для понимания: на шары нанесены цифры 1 и 2, это два разных шара одного цвета: Ч1 и Ч2, точно так же, как Ч и Б — два разных шара.

Из этих рассуждений следует еще один вариант моего решения. Оно подобно решению Бориса Трушина, но отличается выше приведенное обоснование такого решения.

Решение 6

Если из урны с двумя шарами, случайного цвета каждый (Ч или Б), вынимать шары и расставлять в порядке, то получим варианты:

Ч1, Ч2
Ч2, Ч1
Ч, Б
Б, Ч
Б1, Б2
Б2, Б1

Известно, что по крайней мере один шар должен быть черным:

Ч1, Ч2
Ч2, Ч1
Ч, Б
Б, Ч
Б1, Б2
Б2, Б1

Белый шар в двух вариантах из четырёх.

Ответ: 2/4 = 1/2 (не 2/3).

Вариант критики 2

Доведем способ решения авторов до абсурда.

Решаем, используя метод решения авторов задачи.

Пусть И — событие излечения от смертельной отравы.

1) В урне одна таблетка Н (равновозможно антидот Б или плацебо* Ч).
Вероятность излечения Р(И) = Р(Б) = 1/2.

2) В урне две таблетки: Н и Ч (принимаем обе одновременно).
Варианты:
Ч, Ч
Ч, Б
Б, Ч
Б, Б
Вероятность излечения Р(И) = 2/3.

3) В урне три таблетки: Н, Ч, Ч. Варианты:
Ч, Ч, Ч
Ч, Ч, Б
Ч, Б, Ч
Ч, Б, Б
Б, Ч, Ч
Б, Ч, Б
Б, Б, Ч
Б, Б, Б
Зачеркнуты варианты, где Ч встречается меньше двух раз.
Вероятность излечения Р(И) = 3/4.

И так далее.

Каждый раз общее число возможных исходов равно числу таблеток плюс один, а число положительных исходов — числу перестановок Б с первой по последнюю позиции или общему числу таблеток.

По возможному эффекту для излечения от смертельного гриба козья какашка равноценна таблетке плацебо, поэтому:
чтобы по мнению авторов задачки с вероятностью 99/100 (99%) излечиться от отравления смертельным грибом, вместе с таблеткой Н, дающей излечение с вероятностью 1/2, необходимо принять 98 козьих какашек!

Гм... решение стало напоминать анекдот про двух ковбоев, которые на шару дерьма наелись.

Результат решения задачи очевидно абсурден, а, значит, данное решение ошибочно.

Примечание: * считаем, что эффект применения плацебо нулевой.

Натурный эксперимент

(добавлено 28.01.2023)

Для отдельных особо одаренных товарищей из комментариев сделал натурный эксперимент.

Обращаю внимание. По условию задачи мы сначала узнаем наличие рядом лягушки-М, а потом видим пару лягушек. Сначала точно знаем про "мальчика", а потом рассматриваем имеющуюся пару с точно мальчиком. Это говорит о том, что алгоритм не может работать по принципу генерации случайных пар, из которых потом будет отбрасывать неподходящие по условию "ЖЖ". Все пары уже во время их создания должны содержать по крайней мере одного мальчика.

Алгоритм:

Результат выполнения алгоритма выдает значения примерно равные 0,5.

Выводы

• «Ген Физтеха» отравлен смертельным грибом.
• После уничтожения танковых инженерных здоровый «ген танко-инженерных» вымрет естественным путём.

P.S. Авторское, физтеховское, решение из серии доказательств, что 1 = 0 или 2 × 2 = 5, которые ради шутки используют внутри себя неверные допущения или преобразования (вроде деления на ноль). Это решение можно использовать в таком качестве, в качестве шуточного курьёза, но не как решение математической задачи.

Автор: В. Чобиток

Источники информации

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2 : Учебное пособие для втузов. 13-е изд. — М. : Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с.

Также не по теме