Вы знаете, что такое «тавтология»? В буквальном переводе с греческого – «одно и то же». Но здесь нас ждёт очень непростая ловушка.
Дело в том, что тавтология – не одна! Первая тавтология означает распространённую речевую ошибку. Это всем известное "масло масляное" или "красивая красавица".
А вторая тавтология скрывается в учебнике математики, точнее – логики. Кстати, смотрите, какая путаница: вроде бы как «логика» (от греческого «логос», «слово», «мысль») – это наука о том, как человек рассуждает, «мыслит словами», то есть наука «словесная». А с другой стороны, логика почему-то считается разделом математики... Как это так?
А это как раз тот случай, когда выплывает истинная природа математики: на самом деле математика (и логика вместе с ней) – это особый язык со своими правилами, «буквами», «словами» и «предложениями». Мы рассказывали об этом детям в «Лучике», но не грех и для взрослых повториться. А слово «тавтология» в математической логике означает очень важную вещь – логический закон, то есть нечто «истинное всегда».
О том, что логика (изначально – искусство рассуждения, искусство убеждать собеседника в своей правоте) имеет математическую природу, учёные догадывались давно. Однако первым в чёткую и ясную систему логику превратил английский математик, профессор Джордж Буль. Он доказал, что логика – это не просто математика, это самая настоящая алгебра, алгебра логики! В честь первооткрывателя эту часть математики так и называют: алгебра Буля, бýлева алгебра. Солидно звучит, а?
В «обыкновенной» алгебре изучают числа и операции над ними. Сложение, умножение, взятие корня, возведение в степень. В булевой алгебре изучают особенные числа: 0 и 1.
Почему особенные? Потому что в алгебре логики никаких других чисел не бывает. Ни «два», ни «три», ни «девяносто семь». Только ноль и единица. Хотя некоторые предпочитают писать «ложь» (Л) и «истина» (И). Или по-английски «False» (F) и «True» (T).
– Хорошо, допустим, – согласитесь вы. – А какие тогда операции есть над этими числами? Как может быть так, что не существует числа «два»? Если один плюс один равняется двум? Или в этой вашей алгебре логики нет сложения, нет знака «плюс»?
Не угадали, знак «плюс» в логике есть. Правда, называется он логическое сложение, а по-научному (держитесь, язык сломать можно!) «операция ИЛИ», «дизъюнкция». Диз-юнк-ци-я, о как! И если сложить один плюс один, то (снова держитесь!):
1 + 1 = 1
Не два, а снова «один». Остальные операции в логике тоже необычные – вместо умножения есть операция «логическое И», которая обозначается точкой. А ещё есть такие хитроумные операции, как «отрицание» (обозначается чёрточкой сверху), «следование» (обозначается значком «→») и «равносильность (значок «↔»).
Но зачем это всё? А вот зачем. Каждую фразу, сказанную вами (или мной), каждую строчку, написанную каким-то автором, можно оценить, как некое высказывание – ложное или истинное. И каждому предложению можно приписать значение 0 (ложь) или 1 (истину).
Смотрите:
«У автомобиля «Лада Приора» четыре колеса (не считая запасного)» = 1
«У школьника Сидорова одна голова и два уха» = 1
«В шахматы играют на доске с чёрными и белыми клетками» = 1
Но:
«У автомобиля «Лада Приора» два крыла и рыбий хвост» = 0
«У школьника Сидорова змеиный хвост и огнедышащая пасть» = 0
«В шахматы играют резиновым мячом на стадионе» = 0
Понятно? Единица – правда. Ноль – враньё. Ничего сложного. Само собой, как и в школьной алгебре, каждое такое высказывание – для краткости! – можно обозначить буквой:
А = «У школьника Сидорова три головы, змеиный хвост и огнедышащая пасть»
B = «У школьника Сидорова одна голова и два уха»
ну и вполне понятно, что в нашем примере А=0, а В=1, не так ли?
Какие же законы можно сконструировать из нуля и единицы в логике? О, самые разные – и сейчас вы убедитесь, что многие из этих законов вам знакомы, и что вы практически каждый день пользуетесь ими в повседневной жизни! Итак...
Закон 1, он же закон исключённого третьего
Математически записывается так: A + ¬A = 1
Что такое «А с крышечкой от рояля»? Это отрицание высказывания А, его полная противоположность, «не А». Скажем, А = «У меня есть тетрадь в клетку». Тогда ¬A = «У меня нет тетради в клетку». А знак плюс можно читать как союз «или»:
У меня есть тетрадь в клетку ИЛИ у меня нет тетради в клетку = ИСТИНА (всегда)
Согласитесь, или у вас есть какой-то предмет, или нет. Одновременно того и другого быть не может. Потому закон и называется «исключённого третьего» – потому что третьего варианта быть не может. Вот другой пример:
Аня ела на обед рассольник ИЛИ Аня не ела на обед рассольник = ИСТИНА
Закон 2, он же закон противопоставления (контрапозиции – ещё одно страшно умное слово)
Математическая запись у него вот такая: (А → В) ↔ (¬В → ¬А)
А «словами» он читается так: «Если из А следует В, то из отрицания В следует отрицание А».
Непонятно? Сложно? Кхм. Скажите, а вы любите детективы? Вот некоторые советуют, чтобы логику ввели в школах как новый предмет. А нам кажется, что этого не нужно. И так школьных предметов хватает. Для того, чтобы понимать логику, достаточно любить и решать логические задачи, играть в логические игры (те же шахматы) и, конечно же, читать и смотреть детективы. И книжки, и по телевизору! В детективах гениальный Сыщик разгадывает таинственное преступление, так?
Тогда на языке Сыщика наше высказывание «А» называется «посылка» или «причина». А «В» называется «следствие» или «вывод». Скажем, А = «На улице сильный мороз». B = «Вася надел тёплую куртку в школу». Тогда о чём нам говорит закон противопоставления? Если утверждение В ложное («Вася НЕ надел в школу тёплую куртку»), ЗНАЧИТ сильного мороза не было! То есть наше исходное утверждение А («На улице сильный мороз») ложное! Помните, как Шерлок Холмс рассказывал о своём искусстве делать выводы? «Сегодня весь день моросил дождь, погода мерзкая, – и если бы вы, дорогой Ватсон, решили прогуляться, то обязательно испачкали бы ботинки. А они у вас чистые, ни единого пятнышка! Следовательно, я делаю вывод, что вы весь день сидели дома!».
Есть ли у логики ещё законы? Конечно. Закон 3, он же закон доведения до абсурда (закон доказательства от противного)
Ещё не устали от формул? Эта будет уже выглядеть немножко страшновато (формулы алгебры логики тоже могут быть сложными):
((¬А → В) ▪ (¬А → ¬В)) → A
На латинском языке этот закон логики называется «редукцио ад абсурдум», то есть буквально «доведение до бессмыслицы», «до противоречия». Им отлично владели ещё древние греки – в частности, именно на этом законе основан знаменитый «метод Сократа», «сократический диалог».
Снова вспоминаем детективы – хотя бы незадачливого инспектора Лестрейда: «Подозреваемый признался, что вчера вечером был со своим братом, брат мёртв, драгоценности исчезли, значит кто их мог унести? Он! Очень просто». Шерлок Холмс для вида соглашается с инспектором, а после едко добавляет: «Да, очень просто. А потом покойник встал и аккуратно запер дверь и окно!». Всеобщий смех зрителей, Лестрейд посрамлен.
Но конечно же самый любимый закон логики у любого великого Сыщика – это закон 4, он же закон логической цепочки (транзитивности, силлогизма):
((A → B) ▪ (B → C)) → (A → C)
На обыкновенном языке это формула читается так: «Если из посылки А следует вывод В, И из вывода В следует вывод С, то из посылки А следует вывод С». Это излюбленный приём совершенно всех классических Сыщиков – составлять длинную цепь рассуждений. Такой приём чем-то похож на игру в шахматы в школьном кружке – ребята часто рассуждают за доской вслух: «Если я пойду так, то он пойдёт вот так. А я тогда – так... Но тогда он может пойти вот так... А если пойти вот так?» – знакомо? Вот и Шерлок Холмс – как по писанному в учебнике математической логики! – строит свои цепочки умозаключений:
«Убийца приехал в кэбе и вошёл в дом. На козлах кэбмена не было – раз кэб не стоял на месте. Лошадь переходила туда и сюда, это видно по следам копыт и колёс. В доме было только двое: убитый и убийца. Следовательно, убийца – кэбмен!».
В математической логике есть и другие тавтологии (то есть законы) – например, закон исчерпывания, закон двойного отрицания или закон де Моргана. Если хотите, мы расскажем и о них тоже – просто очень уж длинный получается рассказ, так и мозгам недолго вспухнуть. Само собой, все законы логики должны опираться на точно установленные факты, иначе использование наших магических формул теряет практический смысл. В юридических вузах будущих криминалистов учат быть до мелочи, до зубной боли дотошными в описании фактов! Про это даже есть довольно старый анекдот: поехали как-то в Австралию студент-географ, студент-биолог, студент-математик и студент-юрист. Едут в автобусе по шоссе, смотрят – в поле пасётся чёрная овечка. Географ говорит: «О, в Австралии водятся чёрные овцы!». Биолог поправляет его: «Нет, в Австралии живут овцы, некоторые из которых чёрные!». Речь берёт математик: «Не так! В Австралии существует как минимум одна чёрная овца!». Наконец, заканчивает юрист: «Нет, не правильно! Надо так: в Австралии доказанно существует как минимум одна овца, которая с левого бока окрашена в чёрный цвет!». И верно – ведь овечка паслась к путешественникам только одной стороной? А вдруг она «с той стороны» серо-буро-малиновая?
Хотите попробовать себя в роли Сыщика и знатока логики? Тогда подписывайтесь на «Лучик» – как раз в мартовском номере мы будем тренироваться!
Оформить подписку на журнал можно через редакцию
Или через Почту России
А богатые покупают его на Wildberries