Хочу представить вам ещё одно матемагическое число: 142857.
Смотрите, что с ним происходит при умножении на числа от 2 до 6:
Все результаты не только состоят из одних и тех же цифр, но и сохраняют порядок цифр, повторяющийся по кругу. Давайте упорядочим строчки так, чтобы сдвиг стал очевиден:
Забавно, конечно, но неужели это повод для написания заметки? Вполне. Во-первых, это повод поговорить о признаках делимости на 7. Во-вторых, можно вспомнить о периодических дробях. В третьих, можно задаться вопросом, а есть ли ещё на свете такие числа? Со всем этим стоит разобраться.
Первое, что я предлагаю сделать, выйти за пределы того, что нам известно, а именно, продолжить ряд и умножить наше число на 7. Результат может показаться несколько неожиданным:
142857×7 = 999999.
Ни одной цифры из исходного числа! Но это явная подсказка — наше число точно имеет отношение к семёркам! А именно:
7 = 999999/142857.
А теперь обратим обе части равенства:
1/7 = 142857/999999.
Опытные маткружковцы, думаю, уже догадались откуда берётся наша матемагия! Давайте выразим 1/7 в виде десятичной дроби:
1/7 = 0.14285714285714... = 0.(142857)
О! Вот оно! Поскольку число 7 не имеет с числом 10 общих делителей, 1/7 выражается бесконечной периодичной десятичной дробью, а в периоде как раз оказалось наше магическое число!
* * *
Напомню, как можно получить любую наперёд заданную периодичную десятичная дробь. Например, пусть в ней повторяется текущий год:
x = 0.202320232023...
Умножим число x на 10000 для того, чтобы весь период оказался в целой части:
10000x = 2023.20232023... = 2023 + x
и выразим искомое x:
9999x = 2023 ⟹ x = 2023/9999
Вычислите какой должна быть дробь, чтобы в ней повторялась дата вашего рождения. Имейте в виду, дробь с девятками в знаменателе может сократиться.
* * *
Итак, мы выяснили, откуда наше число взялось — это повторяющаяся часть десятичного представления числа 1/7.
Но почему же происходит сдвиг ряда цифр при умножении? И что это за последовательность чисел: 1, 3, 2, 6, 4, 5?
Давайте умножать 1/7 на степени десятки, тем самым последовательно перемещая цифры из дробной части в целую:
Вот они, результаты умножения! Поскольку дробь бесконечная и периодичная, то цифры не заканчиваются, а просто циклически переставляются.
Однако, как связаны между собой числа 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵ и 3, 2, 6, 4 и 5?
* * *
Раз семёрка играет главную роль в этой истории, надо научиться мыслить как семёрка! Давайте выразим через число 7 степени 10:
Вот в чём оказалось дело! Загадочная последовательность чисел 1, 3, 2, 6, 4, 5 — это остатки от деления на 7 степеней 10. В мире семёрок (в модулярной арифметике ℤ/7ℤ) умножение на 10ᵏ ведёт себя, как умножение на (10ᵏ mod 7).
Вот, например, как выглядит в деталях умножение на 2
2×142857 = 2×(999999/7) = (2/7)×999999 = (285714/999999)×9999999 = 285714
* * *
Полученная нами последовательность остатков формирует признак делимости числа на 7. Вот как, например, можно вычислить остаток от деления на 7 многозначного числа 7359516:
Если сумма цифр числа, умноженных на последовательность ...,1,5,4,6,2,3,1 оказывается делящейся на 7, то и всё число делится на семь. Для трёх-четырёхзначных чисел это вполне действенный метод.
* * *
Знать, значит уметь. Утверждать, что мы поняли как что-то устроено, можно тогда, когда мы в состоянии построить что-то новое сами. А из каких ещё периодических дробей можно собрать такое же хитрое циклическое число? Теперь мы знаем: из таких дробей 1/p, где значения 10ᵏ mod p для k = 1,2,..., p−1 принадлежат множеству {1,2,3,...,p}. К таким числам относятся, например, числа 7, 19, 23, 29, 47, 59, ...
* * *
Стоит упомянуть об ещё одной особенности числа 1/7. Числа 14, 28 и 57 похожи на 7, умноженные на 2, 4 и 8. Правда, 7×8 = 56, но 57 и 56 как-то подозрительно близки. Давайте, для проверки, поделим его на 7 ещё раз:
(1/7)/7 = 1/49 = 0,02040816326530612...
Смотрите-ка, в этом числе появляются по очереди степени двойки, до тех пор, пока они умещаются в два разряда. Давайте теперь поделим это число на 2:
(1/49)/2 = 1/98 = 0.01020408163265306...
Это совпадение, но 2×7² = 98 = 100 − 2, которое при обращении порождает последовательность степеней двойки в десятичном представлении. Также как 1/998 порождает правильные степени двойки вплоть до четырёхзначных:
1/998 = 0.001002004008016032064128256513...