Это ответы на задания, появлявшиеся в серии заметок Теория чисел на пальцах. Все эти задания касались конечного кольца ℤ/12ℤ, то есть конечной арифметики на циферблате обычных часов.
Часть 1
Вот как выглядят "звёздочки" для этой арифметики, то есть траектория, которая получится при многократном прибавлении одного и того же числа.
Мы видим, что все "звёздочки" в ℤ/12ℤ, кроме, той, что получается прибавлением 5 (или 7 = −5), превращаются в правильные многоугольники с числом вершин, кратным 12.
Теперь по "звёздочкам" легко построить таблицу умножения для ℤ/12ℤ:
В ней гораздо больше нулей, чем в привычной нам таблице умножения на 10. Это значит, что если бы мы имели по 6 пальцев на каждой руке, то именно заучивать таблицу умножения надо было бы только для 5 и 7. Все остальные строки имели бы отчётливо повторяющиеся паттерны в младших разрядах.
Кроме обилия нулей, обращает на себя внимание то, как расположились единицы — они все оказались на главной диагонали, то есть, это квадраты чисел 1, 5, 7 и 11.
Часть 2
Делители нуля — это такие ненулевые элементы кольца, которые способны дать 0 при умножении на ненулевой элемент. Отыскать их легко, имея таблицу умножения: надо только выписать, в каких строчках содержатся нули.
В нашем случае делителями нуля являются: 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 10. То есть, числа, имеющие с числом 12 общий множитель, превышающий единицу.
Идеалы в кольце — это такие подмножества, которые во-первых, вместе с операциями сложения и умножения кольца образуют собственное кольцо (подкольцо), а во-вторых, при умножении любого элемента кольца на элемент идеала, результат оказывается в идеале.
В кольцах вычетов, идеалы порождаются делителями нуля. В нашем случае это такие подмножества:
Все эти идеалы главные, то есть, порождаются каким-то одним элементом с операцией сложения.
Часть 3
Делители единицы — это обратимые элементы кольца, которые способны дать в произведении с каким-либо элементом единицу.
В нашем случае, это числа 1, 5, 7 (−5) , 11 (−1) .
Эти числа сами образуют группу с операцией умножения из ℤ/12ℤ. Вот как выглядит таблица для этой группы:
Рядом с таблицей нарисована диаграмма Кэйли для этой группы. Здесь красные стрелки обозначают умножение на 5, зелёные — на 7, а синие — на 11. Эта группа хоть и имеет такое же количество элементов, что и мультипликативная группа обратимых элементов в ℤ/10ℤ, но обладает иной структурой. Сравните их диаграммы Кэйли:
Часть 4
Деление с остатком корректно выполняется для генераторов главных идеалов, то есть, для чисел 2, 3, 4 и 6. Вот как выглядят остатки при делении на эти числа на циферблате:
Факторизация кольца по главным идеалам для колец вычетов совпадает со способом, которым сами эти кольца создаются из кольца целых чисел. Так остатки от деления чисел в ℤ/12ℤ на 2 составляют множество из двух элементов {0, 1}, представляющих, соответственно чётные и нечётные числа. При этом прибавление чётного числа не меняет чётности (x + 0 = x), умножение четного числа на любое число даёт чётный результат (x*0 = 0), сумма двух нечëтных чисел чëтна (1 + 1 = 0), а из умножение на нечётное число не меняет чётности (1*x = x). Всё это говорит, что перед нами кольцо вычетов по модулю 2, то есть, ℤ/2ℤ.
Мы можем формально записать, что (ℤ/12ℤ)/(2ℤ/12ℤ) = ℤ/2ℤ, как бы сократив общий знаменатель 12ℤ. Нетрудно показать, что (ℤ/12ℤ)/(3ℤ/12ℤ) = ℤ/3ℤ, и так далее. И вообще, если m делит k, то (ℤ/kℤ)/(mℤ/kℤ) = ℤ/mℤ.
Часть 5
Ассоциированными называются числа, которые получаются друг из друга при умножении на делитель единицы. При этом, если a ассоциировано с b, то одновременно a делится на b, и b делится на a. Отношение ассоциированности позволяет разбить множества всех элементов кольца на смежные классы (не пересекающиеся подмножества, объединение которых равно всему множеству чисел).
Разложение на ассоциированные числа произведём в форме таблицы, перемножая нетривиальные делители единицы со всеми необратимыми элементами кольца:
Устройство мультипликативной группы обратимых элементов отразилась в структуре ассоциированных элементов: ассоциированными оказались противоположные обратимые числа.
Простыми элементами в кольцах вычетов являются генераторы простых идеалов. Простые идеалы, в свою очередь, содержат только те элементы, которые можно разложить на множители только так, что один из них обязан содержаться в идеале.
Простыми в ℤ/12ℤ являются идеалы 2ℤ/12ℤ и 3ℤ/12ℤ. Идеал 4ℤ/12ℤ содержит элемент 8, который можно представить в виде 2×4, а поскольку число 2 не входит в 4ℤ/12ℤ, этот идеал не простой. Также не является простым идеал 6ℤ/12ℤ, так как 6 = 2×3, а ни 2 ни 3 в идеал 6ℤ/12ℤ не входят.
Таким образом, получаем следующую структуру кольца ℤ/12ℤ:
Любопытно, что число 10 = −2 тоже должно бы считаться простым, поскольку все его разложения на множители содержат тот или иной делитель единицы. Однако, оно не простое, а неразложимое. От простого неразложимые числа отличаются тем, что для них не выполняется лемма Евклида: для простого и только для простого p верно, что если произведение ab делится на p, то либо a делится на p, либо b делится на p. Например, 8 делится на 10, потому что 8 = 2×10, однако, с другой стороны, 8 = 4×5, а на 4, ни 5 не делятся на 10 и не являются ассоциированными с числом 10.
В кольце ℤ/10ℤ таких чисел не было, и мы о них и не упоминали. Однако, как видим, кроме простых элементов в кольцах бывают и иные, похожие на них, но не простые неразложимые элементы. В областях целостности (таких, как целые числа) все неразложимые числа просты. Поэтому в школе мы с ними и не сталкивались.