Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим задачи по геометрии за 8 класс. Задачи на применение теоремы Пифагора, которые встречаются в 15 задании ОГЭ по математике.
Теорема Пифагора
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Примем условные обозначения: против угла С лежит сторона с (гипотенуза), против угла А сторона а и против угла В сторона в. Стороны а и в называются катетами
Стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол, называются катетами.
Задача №1
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Задача №2
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
В этой задаче можно воспользоваться формулой сокращенного умножения:
Задачи №3,4,5
Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит они равны. Отсюда следует, что задачи, представленные выше, одинаковые.
Решение
Способ №1 (по теореме Пифагора)
Обозначим треугольник буквами. Нам нужно найти сторону треугольника, значит будем находить сторону ВС. Так как BD - биссектриса, медиана и высота в равностороннем треугольнике, то пусть DC =x, тогда ВС = 2х. Решение представлено выше.
Способ №2 (через формулу равностороннего треугольника, которая дается в справочном материале на экзамене)
Формула дается для описанной и вписанной окружности в правильный треугольник. (Правильный=равносторонний).
По заданию нам нужно найти сторону, зная высоту равностороннего треугольника (высоты, медианы и биссектрисы в разностороннем (правильном) треугольнике совпадают).
Из этой формулы, выразим сторону треугольника:
Подставив значение в формулу, получаем:
Задачи 6,7,8
Поскольку в равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит они равны. Отсюда следует, что задачи, представленные выше, одинаковые. Найдем высоту в каждом треугольнике.
Решение
Общая формула для все этих задач выглядит следующим образом: (дается на экзамене в справочном материале)
Подставив значение стороны из каждой задачи, получаем следующие решения:
Задача №9
В треугольнике ABC известно, что AC=6, BC=8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника
Решение
Радиус описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Точка пересечения серединных перпендикуляров в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.
Значит для решения этой задачи, достаточно по теореме Пифагора найти гипотенузу и разделить на 2.
Теорема косинусов
Теорема косинусов это расширенная теорема Пифагора для произвольного треугольника. Выражение 2abCosC для прямоугольного треугольника равен 0, т.к. Cos90=0.
Задача 10.
В треугольнике ABC известно, что AB=8, BC=10, AC=12 . Найдите cosABC
Решение
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог