В математике много разделов, где результаты кажутся совершенно нелогичными, нелепыми, противоречащими здравому смыслу.
Например, теория множеств, математическая статистика, теория вероятностей – где приходится работать с такими понятиями, как «случайность», «множество», «бесконечность», «пустота».
Приведём несколько примеров.
Вот первый. Его приводил ещё знаменитый учёный Галилео Галилей в 1638 году, в своей книге «Рассуждения и математические примеры о двух новых науках».
Представим себе длинный-предлинный ряд из шариков красного цвета. На каждом шарике написан его номер, натуральное число – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, и так далее, и так далее, главное не останавливаться... Представили?
Теперь представьте себе такой же длинный ряд из шариков синего цвета. Он тоже пронумерован, но более хитро – квадратами натуральных чисел. Помните, что такое квадрат? Да, просто умножаем число само на себя – 1х1, 2х2, 3х3, 4х4, 5х5, 6х6... Получится ряд из шариков с номерами – 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, и опять-таки так далее. Готово?
Внимание, вопрос! А в каком из этих рядов шариков больше?
Рассуждаем: в ряду красных шариков у нас используются все числа, так? А вот у синих шариков полным-полно «дырок»: между номерами 1 и 4 у нас не хватает шариков с номерами 2 и 3. Между шарами с номерами 4 и 9 отсутствуют шарики с номерами 5, 6, 7 и 8. В «красном» ряду эти шарики есть. А в «синем» их нет! Тогда получается, в красном ряду шариков больше, и намного... Так?
Однако рассудим по-другому: у каждого натурального числа (1, 2, 3, 4 и так далее) есть свой собственный квадрат, верно? А у каждого натурального квадрата (1, 4, 9, 16 и так далее) есть свой собственный квадратный корень... Тогда мы каждому (!) шарику из «красного» ряда всегда можем «подобрать в пару» один (и только один!) шарик из «синего» ряда. И тогда получается, что... количество шариков в «красном» и «синем» рядах одинаковое... Так?
Галилей в своей книге приходит к трудному, но совершенно правильному выводу – оказывается, когда мы переходим к такому сложному понятию, как «бесконечность», обычное школьное арифметическое сравнение «больше», «меньше» или «равно» теряет смысл!
Ряд из синих шариков – это только часть ряда из красных шариков. Но при этом синих шариков ровно столько же, сколько красных. Получается часть размером с целое!
Как если бы мы отломили от целой шоколадки кусок размером с точно такую же целую шоколадку...
На эту тему есть и более сложные и хитро закрученные парадоксы. Например, теорема Банаха-Тарского. Которую простым языком можно представить в виде такого, например, утверждения: «Бесконечно острым ножом можно разрезать один арбуз на два в точности таких же арбуза». А два новых арбуза снова можно разрезать каждый ещё на два точно таких же... И так далее, и так далее... Поневоле вспоминается библейский рассказ про Христа, который накормил пять тысяч человек пятью хлебами и двумя рыбинами... В Евангелиях это чудо. А в математике – доказанная теорема, жестокая реальность. Единственное, что требуется – это бесконечно острый ножик...
Хотите ещё? Тогда давайте от бесконечности перейдём к вероятности. Знакомое слово? Вероятность – это как раз та самая неопределённость, «то ли дождик то ли снег, то ли будет то ли нет». Ну или «по закону вероятности ждите крупной неприятности». Итак, запоминаем условие: некий гражданин России по имени Семён Семёнович Семёнов – человек по характеру мягкий, добрый, умный, эрудированный, начитанный, неагрессивный. Скажите, пожалуйста, на ваш взгляд – кто он скорее всего по профессии, академик или военный? Ну, с бОльшей вероятностью?
Скорее всего вы скажете – академик. Потому что всё-таки нарисованный нами «словесный портрет» как-то больше подходит к академику, чем к военному... Так?
А вот теперь берём из учебника по теории вероятностей формулу Байеса (это английский математик XVIII века, который, собственно, и придумал эту парадоксальную задачу) и считаем...
Пусть среди академиков 99% (99 человек из 100) похожи на данный нами «портрет» (всё-таки бывают и академики с более сложными характерами, уверяем вас, редко, но бывают!).
Пусть среди военных снова 99% нашему описанию не соответствуют. Тем не менее, остаётся «один процент» военных, которые на наш словесный портрет всё-таки похожи.
А теперь – внимание! Сколько всего в России академиков? Пусть будет тысяча человек. А сколько всего в России военнослужащих? Пускай будет миллион (на самом деле больше, просто с миллионом считать удобнее). 99 процентов от тысячи – это (может, сосчитаете сами?) получается 990 академиков. А 1 процент от миллиона? А это будет 10 000 военнослужащих! То есть «милых, мягких, умных, добрых, начитанных, эрудированных и неагрессивных» военных в России в десять раз больше, чем таких же по характеру академиков!
То есть строго по математическим формулам вероятность того, что наш воображаемый Семёнов – военный, а вовсе не академик, составляет десять к одному. Вот те раз!
Ещё не совсем устали? Тогда перейдём... к сюрпризам математической статистики! Точнее – к политике. Ещё точнее – к демократии. Совсем точно – к выборам. Итак, задача: в некоем условном городе Чистоплюйске проживает ровно 1000 избирателей.
Им нужно – на абсолютно демократических выборах! – избрать себе правительство. В правительство города войдёт 10 министров.
На их должности претендует 11 кандидатов.
Из этих кандидатов особенной популярностью в городке пользуется политик по фамилии Чеснословский. За него – кровь из носу, в любом случае! – готовы отдать свои голоса 800 избирателей.
Само собой, у Чеснословского есть и противники. Это 200 избирателей. Голосование происходит так: избиратель берёт бюллетень, тайком ото всех вычёркивает из списка одну фамилию (помните? министров 10, кандидатов 11, так что достаточно вычеркнуть одного), бюллетень кидается в урну... Уточняем: избиратели в городке все, как один, дисциплинированные, на выборы ходят, бюллетени не портят. Итак, вопрос: будет ли избран Чеснословский в правительство Чистоплюйска? Станет ли он министром?
«Ха-ха!» – скажете вы. «Ну это уже никакая не задача, а детсадовская шутка! Да за него проголосует 80% населения, это фантастический для политика рейтинг! Конечно же, он станет министром!».
Внимание, правильный ответ: нет, Чеснословский на этих выборах провалится. Гарантированно. Удивлены?
Подключаем математику. Всего у нас 1000 бюллетеней. Мы точно знаем, что против Чеснословского будет подано 200 голосов: в 200 бюллетенях его фамилия будет гарантированно вычеркнута, в 800 бюллетенях она будет непременно стоять. А что же остальные кандидаты? Представим себе, что все они для избирателей Чистоплюйска «одинаковые». Дескать, а какая разница какой из этих кандидатов «вылетит»? Так что будем вычёркивать «от балды», «наобум». Теперь внимательно считаем:
Сторонники Чеснословского (800 человек) гарантированно вычеркнут кого-то одного из оставшейся десятки, так? То есть каждый из «кандидатов всё равно» получит от сторонников Чеснословского в среднем 800:10 = 80 голосов «против» и 800-80 = 720 голосов «за».
А сколько подадут голосов против «кандидатов всё равно» 200 противников Чеснословского? Ноль, нисколько – потому что они будут голосовать против сами знаете кого. И избирательная комиссия после – абсолютно честного! – подсчёта голосов торжественно объявит:
Кандидат Чеснословский – 800 бюллетеней «за», 200 бюллетеней «против».
Все остальные 10 кандидатов, каждый – 920 бюллетеней (от сторонников Чеснословского 720, от противников 200) «за», 80 бюллетеней «против».
Вот такая вот математическая демократия, можете, если хотите, сами пересчитать. Итоги выборов: В министры проходят 10 «кандидатов всё равно кто», а популярнейший кандидат Чеснословский министром не становится. Занавес.
Вот такое вот оно хитрое дело, математика...
А здесь можно полистать страницы будущего, февральского номера журнала «Лучик»:
Подписаться на февральский номер «Лучика» можно по этой ссылке.