Вот очередная красивая арифметическая закономерность, которая часто встречается в сети, и которую мне сегодня хочется разобрать:
Круто! А почему так? Причём тут шестёрки и семёрки, как это так выстроились четвёрки с двойками?
* * *
Начнём с того, что разберёмся, как вычисляется какая-нибудь одна строчка, например, третья. Исходное произведение можно разобрать по разрядам, вот так:
666×667 = 667×6 + 667×60 + 667×600.
Все эти три слагаемых отличаются только числом нулей справа, так что достаточно выяснить как устроено произведение 667×6. Разложим его таким образом, чтобы остались одни шестёрки:
667×6 = (666 + 1)×6 = 666×6 + 6.
А дальше перепишем его так:
667×6 = 6×111×6 + 6 = 36×111 + 6.
Волшебный ряд единичек, при перемножении с двузначным числом, "раздвигает" его цифры и помещает между ними ряд из их сумм (умножение на 11 — это частный случай). Как это происходит, легко увидеть при умножении "столбиком":
Ну, что же, осталось только прибавить к результату ещё одну шестёрку:
667×6 = 3996+6=4002.
Ряд девяток чрезвычайно удачно свернулся в ряд нулей! Теперь можно вернуться к исходному произведению, и вот что мы видим:
667×666 = 667×6 + 667×60 + 667×600
= 4002 + 40020 + 400200
= 444222
Нули расположились таким образом, что сумма сложилась в красивое число!
Получается, что главный секрет этого фокуса состоит в том, что цифры в числе 36, то есть в квадрате числа 6, в сумме дают 9. то есть, число, на единицу меньшее основания системы счисления. Именно девятки смогли, благодаря переносу разряда, превратиться в нули, при прибавлении ещё одной шестерки к произведению 666×6. Среди других однозначных чисел сумму цифр, равную 9, дают 3 и 9. Из девяток не получится составить столь же красивый пример, потому что прибавление к ней единицы её саму превращает в ноль. А тройка прекрасно годится!
По какой-то причине, пример с шестёрками встречается на всяких околоматематических популярных пабликах гораздо чаще примера с тройками.
* * *
А как в других системах счисления? Подходящие однозначные числа, цифры квадрата которых в сумме дают число, на единицу меньше основания, нашлись в системах с основаниями 5, 9, 13, 17 (три числа), 19 (два числа) и др.. Когда знаешь что искать, найти уже нетрудно.
Вот, например, как выглядит один из таких примеров в системе счисления с основанием 33, в которой вместо цифр можно использовать буквы нашего алфавита: