Обращение к пользователям Пикабу.
Я благодарю всех комментаторов моего поста с новогодним поздравлением за оценку представленного в нём материала, а также за добрые и тёплые пожелания и высказывания в мой адрес. По желанию ряда пользователей Пикабу я начинаю выставлять посты по объяснению апорий Зенона, парадоксов теории относительности и квантовой механики.
Замечание. В связи с большим объёмом материала пример 1 и дополнение, помещённые в конце поста, при первом просмотре или вообще можно не читать без ущерба для понимания объяснения апории.
Определение парадокса и апории.
В новой Российской энциклопедии 2005 г. издания парадокс определяется как неожиданное, непривычное суждение, мнение, высказывание, не соответствующее общепринятым правилам и традициям. Апория, в отличие от парадокса, является логически верной, но вымышленной ситуацией, которая не может существовать в реальности. Большой интерес к парадоксам и апориям у специалистов различного профиля объясняется тем, что их разрешение способствует критической оценке и выявлению ошибок в логических заключениях, научной теории, результатах экспериментов, а также в сложных производственных и жизненных ситуациях, повышая вероятность принятия правильных решений.
Об элейской философской школе древней Греции.
Зенон (около 490 - 430 гг. до н. э.) ученик Парменида был представителем элейской философской школы древней Греции (основанной в городе Элее), которая впервые начала разрабатывать теорию познания, проблемы движения, бесконечности, непрерывности и бесконечной делимости. Её представители считали, что истинное представление о мире может быть получено только разумом. Их философское кредо кратко охарактеризовал основоположник элейской философской школы Парменид: Пусть не принудит тебя накопленный опыт, привычки зренье свое утруждать, язык и нечуткие уши. Разумом ты разреши эту задачу, данную мною тебе».
Но методологию элеатов, направленную на предпочтение теоретического, логического метода познания, на противопоставление логических заключений практике, накопленному опыту, нельзя признать полностью продуктивной, так как это привело к суждениям, противоречащим действительности (данным эксперимента, как выразились бы теперь). Такое положение должно явиться предостережением всем исследователям, ориентирующимся на теоретические построения и решение уравнений.
Формулировка апории.
Впереди Ахиллеса находится черепаха, и они одновременно начинают бег. Ахиллес никогда не догонит черепаху, так как пока он добежит до места, где находилась черепаха, она проползет какое-то расстояние, и это будет повторяться до бесконечности.
Попытки опровержения апории.
Обычно считают, что в этой знаменитой апории ярко выявляются противоречия понятия элеатов о пространстве, движении и времени. Опровергнуть эту апорию в продолжение более 2000 лет пытаются различными методами, начиная с Аристотеля. Эти попытки не прекращаются и в настоящее время. Специалисты, пытающиеся объяснить апорию, обычно усматривают ошибки Зенона применительно к области своих исследований (пространства, времени, движения), а решение её видят в том, что ряды из последовательности расстояний между Ахиллесом и черепахой, а также времени их прохождения сходятся (сумма их членов есть конечная величина). Это опровергает выводы Зенона, но не объясняет, почему логически безупречное утверждение противоречит реальности. Я считаю, что парадокс будет объяснён (разрешён), если удастся установить причину его возникновения, то есть найти ошибку в рассуждении Зенона. Для объяснения этой апории будем следовать методу Зенона.
Объяснение апории.
Будем считать, что Ахиллес (А) и черепаха (Ч) движутся равномерно и прямолинейно. Так как Ч движется медленнее А (пусть в 5 раз), то отношение её скоростик скорости А будет меньше единицы: k =1/5=0, 2, где k — постоянная величина. Расстояние между А и Ч при их равномерном движении будет равномерно уменьшаться. Но Зенон предлагает рассматривать расстояния, которые оба объекта проходят за одно и то же время, необходимое для достижения А того места, где была Ч. Пусть расстояние между ними на старте L (рис 2). Движение они начинают одновременно. А проходит расстояниеL, Ч проходит за это время, расстояние в 5 раз меньше—L /5, так как её скорость в 5 раз меньше. Затем А проходит расстояниеL/5, которое прошла Ч, а Ч проходит за это время расстояниеL/25 и т. д. Поэтому расстояния, последовательно проходимые и Ч, и А при каждом рассмотрении уменьшаются в 5 раз. Значит, эти расстояния описываются убывающими геометрическими прогрессиями со знаменателем 1/5. В общем случае со знаменателемk. На рис. 2 Анастарте находится в точке 0, Ч— в точке 1 на линии ОД, по которой они всё время движутся. Изображение путей А, начиная с (1-2), и Ч, начиная с (2-3), сдвинуты каждый раз вниз, чтобы их можно было отмечать разным цветом.
Расстояния, которые проходит Ч, а вслед за ней А, указаны на рис.2. Они являются убывающими геометрическими прогрессиями. Если выписать расстояния, межу А и Ч до начала и при движении, то получим ряд (1). Время прохождения этих расстояний А описывается рядом (2):
Ряды (1 и 2) также есть убывающие геометрические прогрессии Зенон предлагает рассматривать взаимное расположение А и Ч бесконечное число раз. Значит, все указанные прогрессии будут бесконечно убывающими. Зенон не отмечает или не замечает, что расстояния (и время) в этих прогрессиях каждый раз уменьшаются в k раз, то есть очень быстро стремятся к нулю.
Таким образом, метод рассуждения Зенона приводит к рассмотрению последовательностей расстояний или промежутков времени, определяемых членами бесконечно убывающих геометрических прогрессий. Поэтому рассуждение Зенона можно применять бесконечно много раз без нарушения логики и механической сущности процесса движения. Эти прогрессиине характеризуют особенности движения. А и Ч (оно равномерное), а являются математическим описанием взаимного расположения А и Ч в соответствии с условиями апории. Расстояние между А и Ч (1) уменьшаются при каждом рассмотрении, но не будут равны нулю даже при рассмотрении бесконечно много раз. Поэтому Зенон и делает заключение, что А никогда не догонит Ч. Но можно ли распространять эти рассуждения на бесконечно большие расстояния или промежутки времени? Ведь они применимы только в пределах существования указанных прогрессий, в том числе (1 и 2).
Сумма расстояний между А и Ч, которые А проходит от начала движения вслед за Ч, равна сумме S членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (1). Если А никогда не догонит Ч (если Зенон прав), то S должна бесконечно увеличиваться и становиться бесконечно большой величиной.
Если S, достигнув некоторой величины, перестаёт увеличиваться (будет конечной величиной), то это значит, что прироста расстояний, которые А проходит вслед за черепахой, больше нет. Расстояние между А и Ч стало равно нулю. А догнал Ч, пройдя расстояниеS. Но из курса высшей математики известно, что сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в частности (1), S= L/ (1— k), (3) где L начальный член, k — знаменатель) есть конечная величина, так как L и k постоянные величины. Формула (3) получается из формулы суммы членов убывающей геометрической прогрессии переходом к пределу при числе её членов, стремящемся к бесконечности. Так как метод рассуждений Зенона описывает процесс взаимного расположения А и Ч бесконечно убывающей геометрической прогрессией, то только до тех пор, пока Ахиллес ещё не догнал черепаху: до расстояния меньшеS = ОД (рис.2), а времени меньше суммы членов прогрессии (2): S (t) = t₁ / (1— k). Но определитьS и S (t) можно только по формуле (3), полученной с применением предельного перехода. Определить ОД можно также на основе закономерностей равномерного прямолинейного движения. Но эти методы не были известны во времена Зенона.
Зенон распространил свой метод, свои логические рассуждения на расстояние и время, равные и превышающиеS = ОД и S (t) на неограниченную величину. На основе этого он и делает вывод о том, что А никогда не догонит Ч. Следовательно, утверждение Зенона ошибочно. Его ошибка заключается в распространении метода рассуждения за пределы его применимости.
После того, как А догонит Ч, их взаимное расположение (при рассмотрении, указанном в апории) описывается уже бесконечно увеличивающейся геометрической прогрессией со знаменателембольше единицы, так как А находится впереди Ч и удаляется от неё. С увеличением n сумма её членов неограниченно возрастает. Расстояния между А и Ч увеличиваются. Этот ряд, как говорят математики, расходится.
Поэтому дело не в том, что Зенон смог уловить закономерности движения, не поддающиеся рациональному анализу. А в том, что он впервые использовал метод рассуждений, приводящий к рассмотрению бесконечно убывающей геометрической прогрессии. И возникновение апории Зенона есть следствие первого столкновения человеческого ума с такого рода бесконечностью, которая умещается на конечном отрезке числовой прямой. Бесконечно большое количество расстояний, проходимых А, умещается на отрезке ОД, который равен (в нижеприведённом примере 1) 12, 5 м. Бесконечно большое количество промежутков времени прохода Ахиллесомэтих расстояний составляет конечный промежуток времени (в примере 1 S (t) = 6, 25 сек.). Конечно, такой анализ с использованием высшей математики (теории пределов) или законов механики не мог быть проведён во времена Зенона.
Дополнение.
Можно предложить графическое объяснение этой апории, не использующее понятия теории пределов (рис. 3). Следует отметить, что такое графическое решение также не могло быть проведено во времена Зенона, так как оно базируется на рассмотрении графиковзависимости пути от времени: черепахи (линия LД) и Ахиллеса (линия 0Д) при их равномерном движении.
Одновременно проходимые ими пути расположен на одной вертикальной линии и отмечены для Ахиллеса сплошными жирными линиями, для черепах — пунктирными линиями, продолжающими сплошные жирные. Отрезки времени по оси t есть члены бесконечной убывающей прогрессии (2). График наглядно показывает непрерывное движение А и Ч и взаимное расположение в соответствии с формулировкой апории.
Насколько Ч находится впереди А каждый раз, когда он достигнет того места, где она была до этого, осуществляется проведением горизонтальных и вертикальных отрезков между прямыми LД и 0Д. Построение начинается проведением горизонтальной линии из точки L. Получается ломаная линия расположена между LД и 0Д. При таком построении любая точка Аn (при проведении горизонтали) оказывается ниже точки Д, а при проведении вертикали любая точка Чn оказывается левее точки Д. Поэтому процесс построения, этой ломаной линии бесконечен и весь протекает до точки Д, координаты которой определяют расстояние и время от начала движения до того момента, когда Ахиллес догонит черепаху.
Напоминание.По пожеланиям комментаторов я открыл телеграм – канал (https://t.me/kuzminmv/5), где буду размешать посты на современные темы. Этим я буду пытаться представлять материалы, интересные для более широкого круга сообщества Пикабу. Ранее написанные посты можно посмотреть также на https://kuzmin1933.livejournal.com/2692.html, а таже на https://dzen.ru/id/5fbd29d420087161c91058f5 Мстислав Кузьмин | Дзен.
