Золотое сечение -- это один из объектов-медиаторов, то и дело оно возникает в разных областях математики, и с числом 5 оно тоже связано.
Мой любимый способ получить золотое сечение — завязать узелок-пятиугольник. Вот картинка из книги про цыплят с объяснением:
Надо взять полоску бумаги шириной около двух сантиметров и начать завязывать её обыкновенным узлом. Узел затягивать медленно и аккуратно, расправляя его так, чтобы он был плоским. Чтобы получился пятиугольник, лишние концы можно загнуть.
Если все сделать аккуратно, получится правильный пятиугольник:
Диагонали СЕ и BD симметричны и поэтому равны. Потому же равны отрезки СF и DF, а также BF и EF.
По симметрии же параллельны линии АЕ и BD, а также АВ и СЕ. Так что AВFE — параллелограмм. И даже ромб, ведь все стороны правильного пятиугольника равны.
Задачка. Найдите угол при вершине этого ромба
Это была простая задачка, а вот задачка чуть сложнее: доказать равенство таких отношений:
Все эти отношения и составляют золотое сечение:
Золотое сечение связано и с числами Фибоначчи: чем дальше двигаешься по последовательности Фибоначчи, тем ближе отношение соседних чисел Фибоначчи к золотому сечению. Поэтому и возникает такая спираль:
Здесь стороны квадратов равны числам Фибоначчи, поэтому при раскручивании спирали всегда можно пририсовать один квадрат к двум имеющимся. Эта спираль основана на золотом сечении, поэтому дизайнеры считают ее красивой, а обычные юзеры находят ее в самых разных изображениях: