Составление системы уравнений и её решение. Сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями.
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить составление системы уравнений и сложение (вычитание) дробей с разными знаменателями на примере решения задачи про бассейн и три трубы.
Условие:
Небольшой летний бассейн на дачном участке соединён с тремя трубами. Вода в нём в летний день нагревается и затем расходуется для полива, поэтому воду в бассейн надо регулярно добавлять. Если открыть одновременно 1-ю и 2-ю трубы, то бассейн наполнится за 30 часов, если открыть вместе 2-ю и 3-ю трубы, то бассейн наполнится за 10 часов, а если открыть вместе 1-ю и 3-ю трубы, то бассейн наполнится за 5 часов. За какое время наполнится бассейн, если открыть все три трубы?
Решение:
Обозначим объём добавляемой каждой трубой воды за 1 час буквами x, y и z. В условии задачи нет данных об объёме бассейна, поэтому условно берём его за единицу.
Зная из условия задачи, что если открыть 1-ю и 2-ю трубы одновременно, бассейн будет за 1 час наполнен на одну тридцатую, 2-ю и 3-ю трубы – на одну десятую и 1-ю и 3-ю трубы – на одну пятую, составляем систему уравнений:
Для решения этого уравнения сперва раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения:
Оставляем все слагаемые с буквенной частью на левой стороне уравнения, а слагаемые без буквенной части переносим в правую сторону. Нам поможет правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
Теперь у нас с каждой стороны слагаемые с одинаковой буквенной частью и мы можем уравнение упростить (такое упрощение называют приведением подобных слагаемых):
Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Результат получился отрицательный, поэтому делаем вывод, что вторая труба соединена с поливочным шлангом – есть такие участки, которые расположены на склонах и дачники делают бассейны наверху, чтобы поливать из шлангов самотёком.
Теперь находим, какую часть бассейна за 1 час заполнит первая (x) и третья (z) трубы по отдельности и какая часть за час заполнится, если все три трубы открыть вместе.
У чисел 5 и 30 наибольший общий делитель равен 5. Пользуясь основным свойством дроби мы сократили числитель 5 и знаменатель 30 на 5 и получили вместо 30 – 6, а вместо 5 – 1.
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю (подробно о взаимно обратных числах написано здесь).
Ответ: если открыть все три трубы, то бассейн будет заполнен за 6 часов.