Когда я заканчивала 11-й класс, термина "факториал" еще не было в школьных учебниках, он появился там чуть позже, вместе с разделом по комбинаторике и теории вероятностей. Что ж поделать? Актуальность этих тем в современном мире действительно растет. Хотя и раньше понимание некоторых вещей не помешало, чтобы хоть немного отличать закономерности от случайностей.
У Кати есть любимая пирамидка из трех колец, которые можно надевать на основу в любом порядке. Когда Катя кладет снизу самое большое кольцо, потом среднее, а потом маленькое, она так и говорит: "Собрала пирамидку". Если Катя кладет вниз самое большое кольцо, потом самое маленькое, а сверху - среднее, то называет это бальным платьем. Девочка придумала имена для каждой фигуры! А сколько всего фигур у нее может получиться в такой пирамидке?
Тут я намеренно добавила лишнюю информацию в условие. Вся затея самостоятельно обучать ребенка программе 9 класса в том, чтоб не сразу ошарашить его "найти число перестановок без повторений из n элементов при n=....", а дать ему возможность "прожить" ситуацию, пусть он складывает пирамидку, зарисовывает фигуры, сам дает им имена. Это вообще не должно звучать как задача - это всего лишь предложение подумать на заданную тему! Так что я предлагаю включить фантазию и дать фигурам еще и фамилии.
Все фигуры с большим кольцом снизу можно назвать династией Большекругов. А сколько всего династий получится, если мы будем называть их по размеру нижнего кольца? Большекруги, Среднекруги, Мелкокруги - это три. Вернемся к первой из них. У всех фигур по фамилии Большекруг снизу самое большое кольцо пирамиды, а что у них может быть на втором месте? Два варианта: или средне, или маленькое. У Среднекруга на второй слой может попасть большое кольцо или маленькое, а у Мелкокруга - большое или среднее. Какую бы фамилию мы ни взяли, есть два варианта продолжения пирамидки. 3 фамилии по 2 варианта продолжения для каждой - уже 3*2=6 комбинаций. Конечно, лучше заранее понять, что "3 фамилии по 2 варианта продолжения для каждой" - это произведение чисел 3 и 2. А потом сплошное разочарование, у нас кончилось право выбора. Оптимистичнее, конечно, сказать, что выбор есть, но только из одного варианта. Тогда добавим для полноты картины еще и умножение на единицу 3*2*1=3!=6.
Кстати, а что изменится, если девочка Катя будет всегда размещать на основе только по два кольца, а третье оставит лежать на столе? Ничего! А если совсем убрать третье кольцо? Тогда останется только два варианта, две фамилии, по одному представителю каждой.
Но у этой истории есть продолжение.
У Кати есть брат - Даня. Он тоже иногда собирает пирамидку, правда не настолько любит это, чтоб запоминать имена фигур, но всегда обращает внимание на цвета колец. Красный, Оранжевый, Темно-коричневый он называет "КОТ", а в обратном порядке - "ТОК", а "КТО" еще? Мама на это посмотрела, и предположила, что красный скорее можно назвать розовым, тогда среди имен есть "РОТ" "ТОР" и "ОРТ", а папа с мамой по поводу розового согласился, но темно-коричневый назвал мрачным, видимо, папа в детстве хотел стать пиратом и уважает "РОМ" в любом виде. К сожалению, они не сумели подобрать названия так, чтоб получить больше трех осмысленных слов - анаграмм, зато изрядно попрактиковались в составлении двойных и тройных блоков из трехбуквенных. А сколько анаграмм может быть теоретически у трехбуквенного слова?
Ну и куда же без задач про еду, питаемся мы с завидной регулярностью, так что учебный процесс и на обеденный час иногда попадает. Пусть на этот раз будут бутерброды.
Если у Дяди Федора в бутерброде всего два ингредиента, то и вариантов употребления, тоже всего два. А если добавить еще и ломтик помидора? На язык тогда можно положить уже три разных продукта, для каждого из них остается два варианта "топпинга", а в серединку что останется. Снова 3!=6.
Некоторые помнят из школьного курса алгебры, что функции бывают возрастающие и убывающие, многим приходилось еще и задумываться о скорости роста. В 2020 году неоднократно в новостях упоминался "экспоненциальный рост" и все понимали, что это что-то страшное. Так вот, если бы число заболевших в мире равнялось факториалу количества дней, прошедших с первого зафиксированного случая, то двух недель хватило бы, чтоб заразиться абсолютно всем. С учетом такой скорости роста, в задачах на устный счет сильно с числовыми данными не разгуляешься, зато можно обратить внимание еще на один интересный момент - это 0!
Как-то утром, еще не встав с постели, слышу возню на кухне, а потом сын дочке заявляет: "А ты знаешь, 0!=1" - и поясняет - "если бутерброд не из чего сделать, то получается один вариант - не делать его!" Дочка не такой фанат комбинаторики, сию мысль не уловила и попыталась оспорить, от их оживленной дискуссии мой сон как рукой сняло. Пришлось встать и сказать, что математики имеют мнение, сходное с мнением сына, и значение 0!=1 добавлено в определение самой функции. А еще пришлось сварить детям каши.
Ну и под конец приведу еще пару стандартных задач. Если ребенок уже проникся подсчетом количества вариантов, то его вполне можно спросить что-нибудь из разряда:
Сколькими способами можно дать трем девочкам три разных игрушки, чтобы каждой досталось по одной?
Или
Сколько есть вариантов провести выходные, если мы хотим сделать две поездки, по одной в день?
Придумывайте, фантазируйте и любите своих детей вне зависимости от того, способны ли они запомнить слово "факториал"!