Часто говорят, что математика - это язык. Неужели это неправда? В целом, правда: математика - это язык. Но тут есть моменты, которые надо прояснить.
Во-первых, математика это не только язык. Это еще и ветвь физики, как писал академик Арнольд. Ну а почему нет? Ещё это наука, изучающая свои объекты: числа, группы, фигуры, пространства. Они существуют объективно, их свойства мы открываем, а не придумываем. Наконец, это раздел логики, "перечисляющий следствия из произвольных аксиом" (не помню, чья цитата).
Но нас интересует та ипостась, которая язык природы. Здесь есть сбивающая с толку аналогия: ведь все языки стоят один другого. Всё, что можно сказать по-русски, можно сказать и по-китайски, и по-английски, и на языке племени, живущего до сих пор в каменном веке. Да, что-то удобнее там, а что-то здесь. Да, для кого-то будущее впереди, а прошлое сзади, а кому-то очевидно, что прошлое впереди, ведь его видно, а будущее за спиной и приближается крадучись. Да, у кого-то нет слова "брат", а есть "старший брат" и "младший брат" и фраза "русские и китайцы - братья" на китайский просто не переводится (поправьте меня, если я ошибаюсь). Да, в итальянском (и не только) племянник и внук - это одно слово, а племянница и внучка другое, так что столь родная для русского уха испанская фраза Traje negro para mi nieta (напоминаю, что в испанском буква j читается как Х) переводится и как "чёрное платье для моей внучки", так и "... для моей племянницы". Да, у кого-то есть синий и голубой, а у кого-то аналогичные слова для двух красных оттенков.
Обсудим последний пример. У нас синий и голубой - разные цвета, а в английском это всё blue. Однако они тоже различают оттенки не хуже нас, и при нужде легко опишут. Как и мы можем сказать "красный", а можем различить "бордовый", "алый" и ещё какие-то. Зависит от поставленной задачи. Различия могут привести к тому, что у них в радуге шесть цветов или семь, но не таких (наши голубой и синий по-английски cyan and blue, тогда как иногда, начиная с самого Ньютона, там blue and indigo).
А греческом было не то три, не то четыре слова "любовь", в результате перевод евангельского фрагмента ставит в тупик, когда один персонаж повторяет и повторяет вопрос "любишь ли ты меня?". В русском термин страшно перегружен, что дает почву для более или менее (чаще менее) остроумных шуток и многословных уточнений.
Тем не менее, любой язык годится для любой задачи. Единственная сложность - это нехватка лексики, но все "универсальные" языки эту проблему решали, либо заимствуя слова, либо изобретая свои.
И может показаться, что ну и что, что математика язык - у нас есть язык не хуже.
Хуже. Дело хотя бы в том, что в русском, скажем, языке не хватает "лексики", то есть того, что в математике заменяет слова. Для начала надо эту лексику в язык ввести.
Но не всё так просто. Вот простой диалог:
-Кто там?
=Это я!
Записанный, он совершенно неинформативен и даже глуп. Ответ "Это я" тривиален, он не дает никакой информации. Реально используется дополнительная информация: голос говорящего. Человек за дверью узнает человека по голосу.
Но передать эту информацию вы не сможете. Разве что голос очень характерный: хриплый, звонкий, дребезжащий. Либо если вы очень хорошо разбираетесь в голосах и собеседник ваш также. Язык просто не приспособлен к передаче такой информации.
Ну или дегустаторы: они, наверное, могут описать друг другу вкус вина так, что собеседник потом это вино узнает. Но у них есть свой язык. А у вас нет.
Ну вот вам пример.
Напиток довольно жиденький, но ножки по стенкам бокала сбегают вполне уверенно. Цвет правильный, светло-соломенный, спасибо карамельному колеру. Аромат. Лëгкий, горько-сладкий, практически не спиртуозный, с дымком хлебной корочки. Заявленных цитрусовых и шоколадных ноток я в нём не нашёл, но запах приятно меня удивил.
Вкус. Что я жду от трёхлетнего купажа? Ну конечно, некоторой жгучести! И здесь баланс между жгучестью и мягкостью оказался почти идеальным. Лёгкая горчинка подгоревшей хлебной корочки и чёрного перца и очень приятная, правильная дубовая бочка, за которыми идут травянисто-медовые (даже какие-то сенные) нотки.
Послевкусие: яркое, но мимолётное, пряно-горькое, с оттенками дуба и кориандра. Не вызывает отторжения, но и восторга тоже.
Основной профиль у этого виски горьковатый, как у хорошей травяной настойки. Чувствуются молодые, дерзкие зерновые спирты, но это, как я уже писал, не вызывает отторжения. В целом это на удивление мягкий скотч... (стащено из ленты друга - БМ).
Более того!
Язык математики имеет выразительные средства, которых вообще нет в естественном языке. Представьте себе язык без глаголов. Вот вообще без, только существительные и прилагательные. Могут быть формы прилагательного в прошедшем времени, как в японском: "был красным". А глаголов нет.
Многое в таком языке можно. Если есть отглагольные формы и причастия, то можно почти всё: вместо "порезать ломтиками, обжарить в масле, подать с укропом" скажете "подано с укропом порезанное ломтиками и обжаренное в масле".
Но кое-что нельзя, и никак не выкрутиться. Или выкрутиться можно, но слишком расточительно. Как в Токипона: сказать-то можно всё, но длинно и неясно будет.
Или представьте язык программирования, адаптированный для людей. Я что-то такое в школе изобретал. Там в основном императив, но есть и описания типа "чашки в шкафу, шкаф в кухне", "платья в шкафу1, шкаф1 в спальне". На таком языке на удивление многое можно, но опять-таки, не всё, и нехватка средств может дать о себе знать.
Естественный язык многозначен и нечёток. "Бытие определяет сознание" формально может означать хоть "первое определяется вторым", хоть наоборот. Фраза "Возьми меня в Париж", как и "В глаз ему дала", двусмысленна, и таких полно. "Мать ударила дочь, потому она была пьяна". Кто кого ударил и кто был пьян? (Правильный ответ - "она"). Мы такое редко замечаем. И это не только в русском так, это везде так: "He saw her walking down the street" или "She hit her daughter because she was drunk".
Да, можно ввести строгие правила, и это делается: в тех же математических и вообще научных текстах, в юридических, в военных уставах и приказах. Но это специфический диалект языка, и в общем-то об этом и речь: мы можем обходиться без математической нотации, она не более чем сокращает запись.
Но и это очень важно! Лаконичность из удобства превращается в необходимость. Если вам надо писать много лишнего, у вас не хватит "памяти" удержать всё, и ничего не получится.
Давайте попробуем. Вот теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Вроде бы мы обошлись без формул, но это только кажется, ибо термины "квадрат", "гипотенуза", "сумма" и "катет" математические. Чтобы прикинуть длину лестничного пролета, вам надо считать, и не абы что, а корень. Если длина 4, а высота 3, то куда ни шло. Хотя опять-таки, это абстрактные числа, а это уже высший пилотаж; умножая метры на метры, вы получите площадь, которая тут, в задаче, вообще отсутствует, и вы встанете в тупик. Ведь в задаче про лестницу никаких площадей "на самом деле" нет, а промежуточные квадратные метры никакого физического смысла не имеют. А вот если длина 2 и высота 2, то у вас проблемы, ибо результат либо приблизительный, либо символьный: 2√2.
Размышляя дальше, вы успешно описываете реальность на языке векторов и кривых, функций и матриц, интегралов и уравнений, функционалов и операторов. В итоге у вас наиболее точные описания реальности вообще на бытовом языке не излагаются: здесь некоторая свертка некоторого дифференциального оператора от неизвестного тензора равна некоторому заданному тензору, подчиненному некоторому дифференциальному условию; а здесь вообще всё выражено в терминах какой-то не имеющей физического смысла функции (лагранжиана), интеграл от которой должен принимать на решении стационарное значение; да ещё и решение является чем-то в каком-то гильбертовом пространстве, в котором ни то что физического смысла - вообще никакого разумного бытового представления нет.
Пытаться это изложить на бытовом языке - это как объяснить рецепт приготовления спагетти алла карбонара или, скажем, технологию замены резины на зимнюю на языке охотников-собирателей. Объяснить им примерно суть на аналогиях можно, а объяснить целиком - никак. Никак. Совсем никак.
Подводим итоги. Математика как язык природы является языком иного порядка по сравнению с естественным языком. На естественном какие-то вещи вообще не выразить, или это слишком многословно, или слишком нечётко. Даже если можно что-то выразить без формул, это делается "задним числом", а вот придумать что-то таким способом обычно не получается.
Если вы посмотрите внимательно на всех противников засилья математики в физике, то с удивлением убедитесь, что ничего нового они, как правило, не придумали. В лучшем случае они подъедают то, что осталось после первопроходцев, а в худшем вообще ничего в копилку знаний не привнесли.
Потому что сделать что-то в современной физике без математического аппарата - это как прибиться к стае волков и стать у них авторитетом. Просто не получится, потому что ни слов нет для запахов, которые для них очевидны, ни грамматических конструкций.