В свободное от математики время я люблю заниматься прочтением военной литературы. В частности большой интерес у меня вызывали труды Суворова, Сунь Цзы и Николо Макиавели, а также мемуары маршала победы Георгия Константиновича Жукова. При этом, в меру моей увлеченности точными науками, очень часто возникал вопрос приложения математики в военном деле.
Конечно же, речь идет в большей степени о моделях боевых действий непосредственно, а не о школьных задачах расчёта траектории полета снаряда. Относительно недавно мне посчастливилось узнать о такой прекрасной модели, как дифференциальное уравнение Осипова-Ланчестера, которая при некоторых условиях позволяет спрогнозировать результат боя. Об этой модели и будет вестись речь далее.
Истоки
Модель Осипова
В 1915 году во время разгара разрушительной Первой мировой Войны генерал-майор корпуса военных топографов Михаил Павлович Осипов описал математическую модель, позволяющую достаточно хорошо оценить потери сражающихся сторон по изначальной численности войск в контексте Первой мировой войны.
В современных боевых действиях противоборствующие стороны удалены друг от друга, а солдаты способны вести огонь по нескольким целям и, следовательно, поражаться с нескольких направлений. Учитывая эти нюансы можно задать простую модель следующей системой дифференциальных уравнений:
Если перевести на человеческий язык, то закон Осипова звучит так:
Убыль армии линейно зависит от количества солдат противника и интенсивности поражающего действия вражеской боевой единицы (т.е. количество уничтожаемых боевых целей в единицу времени) при прочих равных условиях.
В ходе решения этой системы получалось такое незамысловатое уравнение, которое характеризует протекание военного конфликта:
В своей публикации Михаил Павлович в качестве одного из примеров приводит Аустерлицкое сражение, в котором Наполеон сумел разгромить превосходящую по численности армию 3-й коалиции. Если не вдаваться в подробности, то всё сражение можно разделить на несколько битв:
- 20 тысяч союзников ( Кутузов ) против 40 тысяч французов;
- 15 тысяч союзников ( Багратион ) против 20 тысяч французов;
- 30 тысяч союзников ( Буксгевден ) против 40 тысяч французов;
Если все эти три эпизода сложить в одно сражение, учитывая паритет по интенсивности поражающего действия, то получится следующее:
- X_0 = 20 + 15 + 30 = 65 - задействованная армия союзников;
- Y_0 = 40 + 20 +40 = 100 - задействованная армия французов;
Теперь для проверки корректности формулы возьмем реальные потери французов равные 12 тысяч и обозначим за Y_d. Далее по X_0, Y_0,Y_d мы можем в формуле спокойно восстановить потери союзников. Таким образом, X_d получается равным 21 тысяч, что несильно отличается от реальных потерь в 27 тысяч солдат.
Внимательный читатель мог заметить, что в данном случае задействованная армия не равна реальной численности войск в сражении. Так, например, у союзников было 83 тысяч человек, а у французов 75 тысяч. Дело в том, что Наполеон, как искусный военачальник, смог в отличие от союзников ввести в бой максимальное количество бойцов таким образом, что во всех трех сражениях он имел численный перевес.
«Искусство вождя состоит в умении выставить на поле битвы и ввести в бой наибольшее число активных бойцов, поддержать их моральный настрой, в удачном маневрировании и вообще в умении пользоваться всякою случайностью»
(с) М.П. Осипов
Собственно, модель Осипова и позволяет более наглядно, в цифрах, увидеть этот принцип на деле.
Модель Ланчестера
Позднее, в 1916 году, схожие законы для моделирования воздушного сражения описал английский инженер и эрудит Фредерик Уильям Ланчестер. Однако в своих работах он помимо современных конфликтов рассматривал войны древности. И, конечно, их нельзя рассматривать одним и тем же образом с точки зрения моделирования потерь.
Главной особенность войн древности заключается в том, что обычно каждый солдат может сражаться только с одним солдатом противника. И если каждый солдат убивает ровно одного другого солдата, то количество солдат, оставшихся на конце битвы - это разница между большей армией и меньшей при наличии равных условий сражающихся сторон (снаряжение, качество подготовки, отсутствие преимущества занятой высоты).
В математическом смысле это представлялось схожим образом. Если использовать те же самые старые обозначения, то в формуле этот закон записывается следующим образом:
Этот закон называется линейным законом Ланчестера. При этом существует еще и квадратичный закон Ланчестера, который в точности повторяет выводы ранее сделанные Осиповым.
Однако стоит отметить, что законы Осипова-Ланчестера лучше всего работают при большой численности сражающихся сторон и хуже всего при малых численностях. Также в первозданном виде законы не подходят для описания процесса ассиметричных войн (например, Вьетнамской войны). А еще они очень плохо работают в описании морских сражений, так как все-таки имеет решающее значение кто первый произвел залп и вывел корабль противника из строя. Для таких случаев есть залповые модели, которые работают лучше, чем законы Осипова-Ланчестера.
Справедливости ради стоит отметить, что залповые модели также успешно описывают и случаи, для которых законы Осипова-Ланчестера работают хорошо. Просто залповые модели сильно усложняют расчет и в конечном итоге сводятся к законам Осипова-Ланчестера.
Дополнение: также ко всему вышенаписанному добавлю еще одно замечание по ланчестерским моделям. По моим наблюдениям, чем больше численность сражающихся сторон и меньше относительно численностей параметры a и b, тем точнее модель оценивает потери.
Современные модели войны
Несмотря на простоту и актуальность законов Осипова-Ланчестера в начале XX века сегодня эти модели не так востребованы, как залповые модели. При этом все равно можно встретить интересные публикации по этой теме. Однако имеются доработки, которые позволяют лучше раскрыть математическую сущность войны. Так, наиболее общая модель военных действий сегодня выглядит следующим образом:
Здесь a и e обозначают скорость небоевых потерь; b и f – скорость потерь из-за ведения огня по площадным целям; c и g – потери от воздействия противника на переднем крае; d и h – подходящие или отходящие резервы. При этом интересны следующие частные случаи этой модели:
- Модель Петерсона. В модели имеются только коэффициенты a и e. Численность потерь определяется сугубо численностью своей стороны. Такая модель идеально подойдет для описания холодной войны, когда чем больше солдат несет боевое дежурство, тем больше их погибает.
- Модель Брекни. В модели имеются только коэффициенты a и f либо b и e соответственно. Эта модель вдохновлена боевыми действиями во Вьетнаме и довольно хорошо описывает конфликт, когда одна из сторон ведет классические боевые действия, а другая использует партизанские методы ведения войны.
Заключение
Таким образом, война поддается математическому моделированию некоторых ее аспектов. И что самое удивительное ланчестерские модели используются не только в военном деле. За 100 лет область их применения расширилась. Так, например, их можно использовать в описании конкуренции двух фирм, в маркетинге, политике и прочих областях. Неужели все эти процессы настолько фундаментально похожи?
Напишите свое мнение в комментариях. Также вы можете написать пожелания в разборе других интересных тем связанных с математикой, например, залповой модели или теоремы Байеса и применении ее в современном мире.
Читайте также
Источники
- 1915 Влияние численности сражающихся сторон на их потери. Военный сборник 6;
- 1915 Дополнения к статье «Влияние численности сражающихся сторон на их потери». Военный сборник 10;
#математическаямодель #война #Осипов #моделирование #математика #военнаястратегия #теорияигр #матанализ #математическийподход #математическийанализ