Всем известна рифма из таблицы умножения: "пятью пять — двадцать пять". Там есть ещё две рифмующиеся строчки: "шестью шесть — тридцать шесть" и "шестью восемь — сорок восемь". Это очень легко запомнить, и слава богу, но я предлагаю подумать над тем, почему же это так? Насколько случайны эти рифмы?
Объяснить что-то, значит найти некие универсальные общие причины, не зависящие от случайностей. Как известно, мы работаем в позиционной десятичной системе записи чисел. Причём основание десять — это настоящая математическая случайность. Мало ли у кого сколько пальцев на руках!
Давайте поразмыслим над тем, как эти рифмы могли бы появиться не только в десятичной системе, а в какой-то ещё, скажем, в системе с основанием b.
Итак, что же такое 5 × 5?
В случае десятичной системы, это квадрат половины основания, то есть, b/2. Это сразу подсказывает, что дальше имеет смысл рассматривать только чётные основания. Давайте выясним, как должно выглядеть число b²/4 в системе с чётным основанием b. Если основание делится на 4, то это просто:
b²/4 = b×(b/4).
Это число будет заканчиваться на 0, поскольку в нём нет единиц, а вторая цифра будет соответствовать четверти основания. Не наш случай, 10 на 4 не делится, но поскольку это число чётное, то остаток от деления будет равен 2. Это означает, что на 4 будет делиться число b − 2. Добавляя и вычитая двойку и перегруппировывая слагаемые, получаем двузначное число:
b²/4 = b×(b − 2 + 2)/4 = b×(b − 2)/4+ b/2,
в котором последняя цифра — это половина основания, а первая — (b − 2)/4. Например, для основания 10 первой цифрой будет (10 − 2)/4 = 2.
Вот как выглядит соответствующая строчка в таблицах умножения для различных систем счисления:
b | b/2×b/2
-------------------
4 | 2 × 2 = 10
6 | 3 × 3 = 13
8 | 4 × 4 = 20
10 | 5 × 5 = 25
12 | 6 × 6 = 30
14 | 7 × 7 = 37
16 | 8 × 8 = 40
18 | 9 × 9 = 49
20 | a × a = 50
22 | b × b = 5b
Как видим, эта рифма — не случайность, а отражение общей закономерности!
* * *
Эта рифма ещё красивее!
В числе 36 обе цифры отличаются от предыдущей рифмы, 5 × 5 = 25, на единицу. Давайте поверим эту гармонию алгеброй, перейдя в систему счисления b, разумеется, чётную.
Сначала рассмотрим простой случай, когда основание делится на 4 без остатка:
(b/2 + 1)² = b(b/4 + 1) + 1.
Получаем число, в котором обе цифры отличаются на единицу от цифр числа (b/2)² = b×(b/4).
А что если остаток от деления основания на 4 равен 2? Тут придётся немного повозиться:
(b/2 + 1)² =
= b²/4 + b + 1 =
= b²/4 + b/2 + b/2 + 1 =
= b(b/4 + 1/2) + b/2 + 1 =
= b(b/4 − 1/2 + 1) + b/2 + 1 =
= b((b − 2)/4 + 1) + b/2 + 1.
В результате, мы опять имеем число, цифры которого отличаются на единицу от цифр числа (b/2)² = b×(b − 2)/4 + b/2.
После всех этих упражнений, проверим себя экспериментально:
b | (b/2 + 1)²
--------------------
4 | 3 × 3 = 21
6 | 4 × 4 = 24
8 | 5 × 5 = 31
10 | 6 × 6 = 36
12 | 7 × 7 = 41
14 | 8 × 8 = 48
16 | 9 × 9 = 51
18 | a × a = 5a
20 | b × b = 61
22 | c × c = 6c
Получается, эта рифма тоже не случайна, и более того, её основная особенность встречается в любых системах счисления с чётным основанием!
Эта строчка — моя любимая! Енотское чутьё подсказывает, что и здесь есть что-то интересное. И оно, чутьё, не обманывает! Причём, этот случай красивее предыдущих, вернее, универсальнее. Перейдём в систему с чётным основанием b, чтобы десятичная шестёрка превратилась в более универсальное число b/2 + 1. Вот что происходит при умножении этого числа на одозначное число d:
(b/2+1)×d = b×d/2 + d.
Смотрите-ка, мы получили число, которое выглядит совершенно одинаково в любой системе счисления. Оно оканчивается на цифру d (вот она — наша рифма!), а первая цифра — это половина цифры d. При этом число d дожно быть чётным. Давайте посмотрим, как выглядят строчки умножения на 6 в таблицах умножения в разных системах счисления:
b | 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
---------------------------------------------
6 | 12 24 40
8 | 12 24 36 50
10 | 12 24 36 48 60
12 | 12 24 36 48 5a 70
14 | 12 24 36 48 5a 6c 80
16 | 12 24 36 48 5a 6c 7e 90
18 | 12 24 36 48 5a 6c 7e 8g a0
20 | 12 24 36 48 5a 6c 7e 8g 9i b0
Получается, что в строчке 6 × 8 = 48, число 8 ни при чём, за рифму здесь отвечает шестёрка: при умножении шестёрки на любое чётное число получается "рифмованная" строчка"! Кстати, 6 × 6 = 36 из предыдущей части рифмуется и по этой причине тоже. Тут наши два объяснения пересекаются.