Во многих учебниках разделение этих понятий весьма простое - other используется с неисчисляемыми существительными и с исчисляемыми существительными множественного числа, another – с исчисляемыми существительными единственного числа.
Как оказалось все несколько сложнее, давайте разбираться.
Other используется в значении «другой», «другие», «еще одни» перед:
1) существительными во множественном числе:
Mr Harris and Mrs Bate and three other teachers were there.
2) неисчисляемыми существительными:
I can't see you now— other time, maybe.
3) с исчисляемым существительным в единственном числе, c еще одним определителем, например: that, some, any, no, many, only:
There seem to be no other survivors.
4) С определенным артиклем The other + существительное в единственном числе значит «второй из двух, противоположный».
I work on the other side of town.
5) The other + существительное во множественном числе значит «остальные», «оставшиеся из группы».
I'll wear my other shoes—these are dirty.
Another используется
1) с исчисляемыми существительными в единственном числе в значении «другой», «еще один».
The room's too small. Let's see if they've got another one.
2) С исчисляемыми существительными во множественном числе, в значении «другие, дополнительные вещи».
‘Finished?’ ‘No, I've got another three questions to do.’