Есть такая теория шести рукопожатий. Она говорит, что каждый человек на земле может дотянуться до каждого за шесть рукопожатий. Нарисуем огромный-преогромный граф, вершины которого -- разные люди. Соединим вершины ребрами, если люди знакомы -- «пожимали руки». Тогда от каждого человека к каждому можно добраться по связному пути из шести ребер. Между прочим, это получается не потому, что сеть знакомств людей мира очень плотная, а потому, что в ней есть небольшое число людей-медиаторов, имеющих широкий круг знакомств. Именно такие люди поддерживают связность человеческого сообщества.
Каждый день в декабре я беру число (сколько дней осталось до Нового Года) и описываю какие-нибудь «рукопожатия» в математике, -- с какими математическими понятиями это число связано. Сегодня оказалось, что число 11 через три рукопожатия связано с гипотезой Римана.
Первое рукопожатие: 11 и треугольник Паскаля
Итак, возьмем число 11 и начнем умножать само на себя. Точнее, возводить в последовательные степени:
Справа получился треугольник Паскаля! Это, конечно, объект-медиатор в мире математики, у него есть много связей с другими объектами -- со степенями двойки, с числами Фибоначчи, с треугольником Серпинского, с клеточными автоматами, с биномом Ньютона,...
оффтоп: треугольник Паскаля и школьная теория вероятностей
Я люблю школьникам показывать связь треугольника Паскаля с бросанием монет в теории вероятностей.
Бросим, например, 4 монеты и посмотрим, какими исходами может такой эксперимент может закончиться. Их количества образуют строку в треугольнике Паскаля:
- 1 исход, в котором только орлы
- 4 исхода, в которых три орла и одна решка
- 6 исходов, в которых два орла и две решки
- 4 исхода, в которых один орел и три решки
- 1 исход, в котором только решки
Всего 16 исходов.
Треугольник Паскаля и простые числа
Треугольник Паскаля позволяет построить построить последовательность простых чисел. Как? Возьмем лист бумаги в клеточку, нарисуем по клеточкам ступеньки длиной 2 и высотой 1. Слева пронумеруем строки, а внизу -- столбцы. А затем будем выписывать числа треугольника Паскаля по строкам, по одному числу в клетке. Важно: прижмем все строчки влево вплотную к ступенькам:
Теперь берем цветные карандаши и начинаем раскрашивать числа в треугольнике Паскаля. Если число делится на номер своей строки, красим его в зеленый цвет. А если не делится -- в синий.
Теперь будем раскрашивать числа внизу, пропустив 0 и 1. Если в каком-то столбике есть синее число, красим номер столбика синим. А если синих чисел нет в столбике, красим его номер зеленым.
И все! Все натуральные числа начиная с 2, оказались раскрашенными, простые зеленым, а составные синим.
Ссылки: Доказательство и еще один источник.
Простые числа и гипотеза Римана
Множество простых чисел -- тоже медиатор, связанный с многими другими математическими объектами. И конечно, с гипотезой Римана. Если она верна, то распределение нетривиальных нулей дзета-функции Римана связано с распределением простых чисел.
А какие еще вы знаете объекты-медиаторы в математике -- обладающие большим количеством связей с другими объектами?