Книга известного математика В. А. Успенского ‘Апология математики‘ представляет собой сборник статей, в которых автор хочет показать ‘образованным дилетантам’ место математики:
‘все они [статьи] в той или иной степени относятся (или хотя бы примыкают) к не имеющей чётких границ области знания, которую одни именуют философией математики, другие – основаниями математики, третьи – ещё как-нибудь.’
Книга прекрасно написана. Ниже я остановлюсь на том, как математики обходятся с определениями при построении доказательств, поскольку:
‘Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные «амбиции». Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью, а предположение, что это утверждение ложно, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это утверждение ложно, невозможно.’
Оказывается, что в математике определения исходных понятий невозможны и поэтому они не приводятся. Пара высказываний Успенского по этому поводу:
‘обнаружим, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое – через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый портной у кого же учился?» – справедливо замечает г-жа Простакова.)’
Далее: http://blog.rudnyi.ru/ru/2022/12/opredelenie-v-matematike.html