Квадраты -- в смысле вторые степени. Как и о других маленьких числах, о двойках можно рассказать много интересных историй. Степени двойки, например, возникают во многих сюжетах. Или всякие разные дихотомии --- внутри и снаружи, справа и слева...
Неожиданно много связей оказалось у сюжета про вторые степени -- но не натуральных чисел, а обратных к ним.
Задача о суммировании ряда обратных квадратов была поставлена как вызов европейским математикам в 1644 году, и получила название Базельской задачи (Базель – город в Швейцарии).
Возможно, ее так назвали потому, что ее пытались решить два математика мирового уровня, два брата родом из Базеля -- Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Их родственные чувства со временем совсем остыли и даже хуже того. Их снедала ненависть и ревность друг к другу; каждый готов был идти на подлог, чтобы насолить братцу. Они оба пытались решить задачу о суммировании обратных квадратов, возможно, из духа соревновательности, но так и не справились с ней. Эта вражда не закончилась даже со смертью Якоба. Иоганн не только не помог опубликовать посмертно работы из архива брата, но даже пытался выдать их за свои. Может быть, дело было в личности Иоганна. Он ревновал даже собственного сына Даниила. Они вместе боролись за один математический приз, и когда Даниил выиграл, Иоганн выгнал его из дому и оставил без наследства.
Не было ли в этом удачи для русской математики? Вскоре Даниил уехал в Россию с братом и вместе они выписали к себе Эйлера -- неистощимого, неутомимого, гениального Эйлера.
Эйлер (1707–1786) тоже родился в Базеле, но к 1734 году уже перебрался в Санкт-Петербург, в Россию. Именно тогда он решил задачу имени своего родного города из-за чего немедленно прославился; его по праву стали считать лучшим математиком Европы.
Эйлер нашел сумму ряда: она равна π²/6. Это одна из самых красивых формул в математике. К тому же она очень неожиданная. Число π появляется в формулах, когда мы работаем с чем-нибудь кругленьким. А что круглого в квадратах? Но вот поди ж ты --- π тут как тут.
Метод Эйлера работает и для других чётных степеней, для них тоже есть красивые выражения сумм. А вот для нечётных степеней метод Эйлера не работает. Как найти сумму ряда обратных кубов
1+1/2³+1/3³+1/4³+1/5³+....
можно ли ее красиво и просто выразить --- никто не знает, это нерешенная задача современной математики. Эйлер всю жизнь время от времени к ней возвращался, но так и не смог найти сумму. Задача оказалась слишком сложной и для него, и для последующих поколений математиков.
Обобщение
Поступим, как настоящие математики --- введем символ. Буквой s обозначим степень и запишем те ряды, которые мы уже видели, и те, на которые еще не смотрели, одной формулой:
1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+....
При s=1 эта формула дает расходящийся гармонический ряд, при s=2 --- круглатуру квадратов, найденную Эйлером; при s=3 --- знаменитую нерешенную задачу.
Бернар Риман сделал еще один шаг по пути обобщения: он разрешил переменной s принимать не только действительные значения, но и комплексные, и получил функцию от s --- функцию Римана. Именно о ней идет речь в гипотезе Римана, наверное, самой притягательной гипотезе в математике.
Геометрический подход
А что если складывать обратные квадраты геометрически? Возьмём квадраты со стороной 1/1, 1/2, 1/3, 1/4,… Мы уже знаем, что сумма их площадей равна π²/6. А можно ли из них сложить прямоугольник со сторонами 1 и π^2/6?
Никто не знает. Экспериментирование показывает, что вроде можно — примерно так, как на рисунке. Но доказательства нет.
Поставил ее Рональд Грэм, известный многим как один из авторов книги «Конкретная математика»; а ещё своим числом Грэма, которое одно время входило в книгу рекордов Гиннесса как самое большое число.
А с какими еще сюжетами связан ряд обратных квадратов?