В математике, если уж что-то доказано, то раз и навсегда, за это мы и ценим математические результаты.
Но на самом-то деле бывают совсем другие истории, и вот одна из них, -- про плитки на плоскости. Начнем с простого. Может быть, вы рисовали замысловатые узоры во время долгого разговора по телефону.
Все это примеры замощений. А какие вообще существуют замощения плоскости многоугольниками?
Простейший случай -- замостить всю плоскость копиями одного и того же многоугольника. Например, всю плоскость можно замостить любым треугольником:
Можно замостить плоскость копиями любого четырехугольника, даже и невыпуклого:
А вот с пятиугольниками все было сложнее. Почти сто лет назад Карл Рейнхард нашел пять типов замощений пятиугольниками, но он тогда не знал -- это все возможные типы замощений или есть еще. И только через полвека, в 1968 году, Ричард Киршнер нашел еще три типа и доказал, что другие невозможны. А через 7 лет еще один тип нашел Ричард Джеймс. Показалось, что наконец-то все, но тут за дело взялась Мардждори Райс -- домохозяйка с математическим образованием. Экспериментируя, она нашла один за другим еще 4 типа. Еще одно замощение нашел Рольф Стейн в 1985 году. Наступила пауза -- казалось, что все пятиугольные замощения найдены, но никто не был в этом уверен. А через 30 лет удалось привлечь компьютер к поиску замощений, и нашлось еще одно -- пятнадцатое. Было это не так давно: в 2015 году стало известно о 15 замощениях плоскости пятиугольниками.
Если компьютер не смог найти других замощений, -- значит ли это, что других действительно больше нет? В 2017 году Майл Рао представил доказательство, что таки нет. Но его доказательство тоже компьютерное.
Поскольку до этого уже несколько раз объявляли, что все замощения найдены, а потом опровергали, некоторые математики не вполне доверяют этому доказательству. Хотя оно и проверено, и никто ошибок в нем не нашел.