В заключительной статье коротенького кикла обсудим эстетическую меру многоугольников, 90 их типов и К. Малевича
Polygonal Forms
В прошлой статье мы успели обговорить, что сложность (С) многоугольников равняется числу их сторон. Как же определяется порядок (О)? Рассмотрим следующее выражение:
Где:
Кратко пробежимся по каждому параметру:
- V. Вертикальная симметрия объекта. Формальный элемент порядка, здесь подразумевается осевая симметрия. Равна 1 или 0.
- E. Оптическое равновесие объекта: точка пересечения диагоналей (для треугольника - медиан) должна находиться между двумя вертикалями, проходящими через крайние точки опоры на горизонтальном основании, причём расстояния от неё до каждой из двух этих прямых должно превышать одну шестую общей горизонтальной ширины многоугольника. Заметим, что фигура с вертикальной симметрией (V = 1) автоматически удовлетворяет этому требованию. Итак: в случае оптического равновесия Е = 1, механического - Е = 0, отсутствия обеих - Е = -1.
- R. Вращательная симметрия. Рассмотрим самый простой случае: если объект удовлетворяет требованиям центральной (поворот на π) или вертикальной (осевой) симметриям, то элемент R = 1. Теперь постараемся обобщить такой принцип на все типы объектов: за q возьмём равным число симметричных многоугольников, на который можно разбить данный относительно его центра масс. Тогда R = q / 2 для q не превосходящих 6 и 3 для прочих значений q (которое, очевидно, является натуральным; такое ограничение связано с тем, что "the circle circumscribed about the polygon is very clearly suggested and the impression of rotational symmetry becomes complete")
- HV. Нorizontal-vertical network, или горизонтально-вертикальная сеть, связанная с поступательными движениями плоскости. HV = 2, если все стороны многоугольника лежат вдоль линий однородной сети таким образом, что данные прямые полностью заполняют её прямоугольную часть. По сути, это число независимых движений, которые возвращают данную сетку в исходное положение (вправо-влево и вверх-вниз). Очевидно, на плоскости этот параметр не может быть больше 2, а потому его возможные значения - 0, 1 и 2.
- F. Описан выше. Получен эмпирическим путём.
Итак, обладая всеми дефинициями, мы можем приступить к самому интересному - исследованию всевозможных многоугольников. Рассмотрим квадрат и золотой прямоугольник:
Эстетическая мера 1 объекта равняется:
M = ( V + E + R + HV - F ) / C = ( 1 + 1 + 3 + 1 ) / 4 = 1.5 (1)
Эстетическая мера 2 объекта равна:
M = ( V + E + R + HV - F ) / C = (1 + 1 + 2 + 1) / 4 = 1.25
Процесс подобных вычислений не составит труда даже для отъявленных школьников. Г-н Биркгофф сделал всё за нас, итак, имеем следующие 90 многоугольников:
К. Малевич
Теперь рассмотрим две работы из триптиха Казимира Севериновича Малевича: "Чёрный квадрат" и "Чёрный крест" ("Чёрный круг" не является многоугольником, а потому его анализ будет несколько отличаться; это не входит в рамки нашего кикла)
Эстетическая мера "Чёрного квадрата" равняется [см. (1)]:
M = ( V + E + R + HV - F ) / C = ( 1 + 1 + 3 + 1 ) / 4 = 1.5
Эстетическая мера "Чёрного креста" равняется:
M = ( V + E + R + HV - F ) / C = ( 1 + 1 + 2 + 2) / 8 = 0.75
Эстетическая мера "... четырёхугольника" равняется:
M = ( V + E + R + HV - F ) / C = (0 + 0 + 0 + 0 - 1) / 4 = -0.25
Что делать вам с этими цифрами? Философствовать, думать или попробовать переделать теорию эстетики - решать вам. Надеемся, что вы запомнили отчество: Казимир Северинович!