Подробнее
Прежде всего, если речь идет о мистере Джонсе/Смите, Бирмингем, Алабама, улица, дом, номер социального страхования, то есть об одном конкретном человеке, то понятие вероятности к нему вообще неприменимо. Вероятность имеет дело с массовыми событиями (явлениями).
Мне приходилось сталкиваться с глубокими рассуждениями о вероятности уникальной аварии, которая произошла сколько-то лет назад.
Поэтому вопросы М. Гарднера требуют их как-то интерпретировать.
Самый точный и правильный подход
Создадим массовое явление. Соберем всех мистеров Джонсов, имеющих двух детей. Можно добавить к ним и двудетных Смитов, это ничего не меняет. Выберем тех, которые удовлетворяют предъявленному условию, и пересчитаем их (остальных просто игнорируем). Выберем одного из них случайным образом так, что все варианты выбора равновероятны (это можно устроить, но здесь не место обсуждать, как). С какой вероятностью окажется, что другой ребенок мальчик?
До тех пор, пока не указан, не описан полностью, источник случайности, все разговоры о вероятности лишены смысла. Непонимание этого часто проявляется в так называемых статистических исследованиях. Может привести к неприятностям; пример этого, почерпнутый, кажется, у того же М. Гарднера, я покажу ниже.
В нашем случае источник случайности описан однозначно. Математики называют это вероятностной моделью или вероятностным пространством.
Согласно классическому определению вероятности, надо число отобранных мистеров Джонсов/Смитов, у которых другой ребенок мальчик, разделить на их общую численность.
Упрощенный подход
Прежде всего заметим, что М. Гарднер (наш человек!) считает, что ребенок может быть только мальчиком (будем обозначать это М, если речь идет о первом ребенке, и м, если это второй ребенок) или девочкой (Д и д соответственно). Далее, примем две гипотезы:
1) вероятности рождения мальчика или девочки равны между собой и равны 1/2;
2) рождение мальчика (или девочки) во второй раз никак не связано с полом первого ребенка.
Обе эти гипотезы верны лишь приблизительно (не будем обсуждать здесь физиологию зачатия, вынашивания ребенка и болезни грудного возраста), но довольно точно. Эта приблизительность никак не перекрывает разницу между 1/2 и 1/3 в ответах.
Что значит "верны приблизительно"? Из этих гипотез вытекает, что формулы Мм, Мд, Дм и Дд равновероятны и их вероятность 1/4. Если же посчитать встречаемости этих формул во всей популяции мистеров Джонсов/Смитов, то они будут равны 1/4 от численности всей популяции приблизительно, но с малой ошибкой.
Итак, первый вопрос. Условию "первый ребенок М" отвечают две равновероятные формулы Мм, Мд, из них в одной (первой) другой ребенок тоже мальчик. Вероятность 1/2.
Второй вопрос. Условию "один из детей мальчик" отвечают три равновероятные формулы Мм, Мд и Дм, из них только в одной (первой) другой ребенок тоже мальчик. Вероятность 1/3.
Можно сравнивать с результатами исследований в Самом точном и правильном подходе.
Байки
1. Спасибо мистеру Гарднеру. Один спец по теории вероятностей поставил $1000 против $1 за то, что среди 20 человек подряд, прошедших по улице, будут обязательно и мужчины, и женщины. Он подошел к окну и упал в обморок. По улице шла рота солдат.
Его предположение (на котором он строил свои подсчеты) о том, что пол следующего прохожего не зависит от пола предыдущего, оказалось ошибочным.
2. Какова вероятность, выйдя на улицу, встретить там тираннозавра рекс? Возможны 2 исхода: встретил или не встретил. Поэтому вероятность 1/2.
Математики ничего не могут возразить против такого решения. Равновероятность исходов постулируется вне математики.