Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые тридцать частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика;
28. Дискретная непрерывность;
29. Кружковская задача 14;
30. Кружковская задача 15.
Задача
У Пети есть детская пирамидка из n колец и два пустых стержня той же высоты. Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что Петя сможет, не нарушая правил, переложить все кольца на один из пустых стержней.
Решение
База индукции. Если n=1, то мы просто переложим одно кольцо, не нарушая никаких правил.
Переход индукции. Пусть мы научились перекладывать башенку из n колец. Рассмотрим башенку из n+1 кольца. По предположению мы сможем переложить на один из последних стержней башенку из верхних n колец (нижнее останется на месте). После этого переложим нижнее кольцо на другой пустой стержень, а потом на него переложим башенку из n колец с оставшегося стержня.
Вывод. По индукции утверждение доказано для любого n.
Комментарий
Метод математической индукции изучается в кружке второго-третьего года обучения, и начинать его хорошо с таких вот житейских примеров, причём сперва стоит давать задачу для небольших n (3, 4, 5), чтобы дети могли разобрать несколько переходов руками, увидев закономерность, самостоятельно её обобщив. Таким образом индукция, являющаяся всего лишь формализацией наивного "и так далее", укладывается в голове не как безумная непонятная пушка, из которой легко убивать воробьёв, а как вполне естественный процесс рассуждения.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.