Есть прекрасное доказательство теоремы Пифагора в стиле «Смотри!», оно получается разрезанием квадратов:
На разрезании квадрата основана знаменитая головоломка Танграм:
Квадрат легко и просто разрезать на равные квадраты:
Несложно разрезать квадрат на квадратики, даже если не все одинаковые:
Усложняем вопрос: как разрезать квадрат на меньшие квадраты, любые два из которых не равны друг другу? Это уж совсем сложная задача, и я не удивлюсь, что даже очень упорный читатель с ней не справится. (Хотя попробовать может.) Сто лет назад многие считали, что это вообще невозможно сделать. Так считал и Н.Н.Лузин, блестящий советский математик.
Это одна из тех историй в математике, когда никто не верит в существование решения, а потому никто даже и не пытается решать. Правда, доказательства невозможности не было, но ни один пример построить никому тоже никому не удавалось. И вот в 1939 г. немецкий математик Р. Шпраг сумел разбить квадрат на 55 попарно неравных квадратов. И сразу началась гонка за числами. Несколько последователей смогли несколько улучшить результат: были получены разрезания на 28, 26, 24 попарно неравных квадратов. И конечно, появился новый вопрос: каково минимальное число попарно неравных квадратов, на которые можно разрезать квадрат?
На ответ на этот вопрос понадобилось еще 39 лет. За это время появились достаточно мощные компьютеры и работоспособная модель разрезания, вместе они дали возможность голландцу Адрианусу Дёйвестейну доказать, что квадрат можно разрезать на 21 меньших попарно неравных квадратиков, что такое разрезание единственно, а меньшее число невозможно.
И кстати, приквел: 22, 23, 24, 25, ...