Есть такая разновидность занимательных задач — «продолжить последовательность». Надо внимательно посмотреть на несколько первых чисел, угадать закономерность и рассчитать еще несколько чисел:
(легкая) 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
(тоже нетрудная) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
(посложнее) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Если вам не удается решить такую задачку, обращайтесь в онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей, там собрано больше трети миллиона последовательностей, и почти наверняка можно найти интересующую.
Есть в энциклопедии и такая последовательность: 22, 22, 22, 22, 22, 22, ...
Как она появилась? Благодаря Джону Конвею — замечательному математику, который разработал комбинаторную теорию игр и вообще много сделал для занимательной математики. Это он придумал игру «Жизнь» и построил в ней всякие интересные конфигурации.
Как-то раз на вечеринке его студент предложил Конвею задачку: продолжить последовательность
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ...
Если заранее не знать ответ, то и не угадаешь: простые действия вроде сложения или умножения не помогают... Последовательность получается по принципу Look and say — Посмотри и скажи.
И правда, начинаем с начала, смотрим на 1, видим одну единичку и так и записываем:
Так-то ничего полезного в этой последовательности не наблюдается, но она интересна сама по себе: способ построения такой необычный, что в математике нет методов на изучение этой закономерности. Точнее, не было. Джон Конвей все-таки смог получить результаты. Для этого он применил приём, который часто применяется в «большой» математике, и почти никогда не применяется в школьной. Конвей вставил эту задачу в более широкую рамку. Рассмотрел последовательности, устроенные по такому же принципу, но с другими начальными числами. Получилось несколько последовательностей, и уже можно было сравнивать их между собой, находить отличия и выделять сходство, — это и позволяло найти ключевые свойства.
Например, Конвей выяснил, что числа в таких последовательностях растут довольно быстро; даже количество цифр растет довольно быстро. В пределе в каждом числе цифр примерно на 30% больше, чем в предыдущем. Из этого правила есть только одно исключение: когда первое число 22 — две двойки. Эту информацию мы так и запишем: 22. Если последовательность «Посмотри и скажи» начинается с 22, она остается стационарной:
22, 22, 22, 22, 22, 22, ....