Отсчет дней до Нового Года начался не сегодня, а раньше: 24, 25, ... Насчет числа 23 даже сомнений не было, какой математический сюжет для него выбрать: это парадокс дней рождения. О чём это?
Соберем вместе несколько человек и посчитаем вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения совпадают. Она зависит от того, что такое "несколько". Если "несколько" -- это просто 2, то вероятность невелика, она равна примерно 1/365. И правда, пусть собрались Корней с Пантелеем: день рождения Пантелея может приходиться или на день рождения Корнея, или на любой из 364 оставшихся дней года, поэтому вероятность и получается 1/365.
Понятно, что чем больше людей собрать вместе, тем больше вероятность совпадения. Соберем, скажем, 367 человек. У всех них дни рождения не могут быть разными, значит, хотя бы у двоих совпадают, -- вероятность этого 1. А сколько надо набрать народу, чтобы с вероятностью не меньше 1/2 нашлись двое с одним днем рождения? Если заранее не знать ответ, то скорее всего, не угадать.
Включается линейный взгляд на мир. В крайних случаях, которые мы рассмотрели, вероятности были 1/365 и 1, а теперь нас интересует вероятность 1/2 -- примерно посредине. Людей в первом случае собиралось двое, а во втором -- 367. Наша назойливая интуиция подсказывает, что для вероятности 1/2 и число людей надо брать примерно посредине между 2 и 367, где-то 184 или 185. А это неправда.
Интуитивно подразумеваемая линейность часто подводит школьников, когда они думают, что корень из суммы равен сумме корней, или что логарифм суммы равен сумме логарифмов -- это все довольно типичные ошибки.
Возвращаемся к дням рождения. Почему 184 -- это слишком много? Потому что нам нужно обследовать не всех людей, а все пары. А пар гораздо больше чем людей.
Вот на этой картинке 7 зеленых точек. Пары точек соединены черными отрезками, то есть отрезков столько же, сколько пар. И пар этих больше, чем точек. А если нарисовать 23 точки, то пар будет так много, что зарябит в глазах.
В реальности достаточно набрать 23 довольно случайных человека -- и с вероятностью не меньше 1/2 среди них окажется двое с одним днем рождения.
Вот еще ситуация с такой же структурой. Вероятность того, что завтра какой-то отдельно взятый автомобиль в Москвы столкнется на дороге с любым другим, не так велика. А вот вероятность того, что завтра какие-нибудь два автомобиля столкнутся, гораздо выше. Она не просто больше 1/2, она практически равна 1.
Все потому, что пар автомобилей куда больше, чем самих автомобилей.
А вас когда-нибудь подводила интуитивная линейность?