Простые числа, отличающиеся на две единицы называются близнецами. На такие числа обратил внимание французский математик Альфонс де Полиньяк и у него возник вопрос: конечно или бесконечно число чисел близнецов? Очевидно, проблема: множество близнецов конечно или нет, является бинарной проблемой [ 1 ].
Теорема 1. Множество близнецов бесконечно.
Доказательство. Допустим, что множество натуральных пар близнецов конечно. Первая пара натуральных близнецов - это (3, 5), т. е. n1 = 3. n1 + 2 = 5. вторая пара - это (5, 7), т. е. n2 =5, n2 + 2 = 7, ..., к-ая пара это (nк, nк + 2), а для любого nк+1 > nк пара (nк+1, nк +1 +2 ) не является близнецами. Тогда по аксиоме спуска [ 1 ] пара (nк, nк + 2) также не является близнецами, а это противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие доказывает теорему.
Можно рассматривать тройки [ 2, 367 ], четверки и т. д. простых чисел с возможно маленькими разностями. Для трех простых чисел p, p', p", где p > 3, не может быть одновременно p' = p + 2 и p" = p' + 2 = p + 4 [5, 367]. так как одно из этих чисел будет делиться на 3. Наименьшие возможно маленькие разности между тремя простыми числами, отличными от 3, это разности p' - p = 2, p" - p' = 4 ( или p' - p = 4, P" - p' = 2 [5, 367]. Английские математики Харди и Литлвуд поставили проблему доказательства существования бесконечного множества таких троек простых чисел p, p' = p + 2 и p" = p + 6. По их мнению [5. 367] эта проблема по трудности значительно превосходит проблему существования бесконечного числа простых чисел близнецов. Однако эта проблема так же , как и проблема существования бесконечного числа простых чисел близнецов, является бинарной, и ее доказательство легко осуществляется с помощью аксиомы спуска [ 1 ].
Теорема 2. Существует бесконечное множество троек простых чисел p < p' < p" таких, что p' - p = 2, p" = p + 6.
Доказательство. Первой тройкой таких натуральных простых чисел будет p = 5, p' = 7, p" = 11. второй тройкой таких натуральных простых чисел будет n2 = 11, n2 + 2 = 13, n2 + 6 = 17 и т. д. К -ой тройкой таких чисел будет nк, nк + 2, nк + 6. Предположим для любого nк + 1 > nк тройка nк + 1, nк + 1 + 2, nк +1 + 6 не удовлетворяет требуемому свойству, т. е. по крайней мере одно из чисел nк+1, nк + 1 + 2, nк + 1 + 6 является составным. Тогда , согласно аксиоме спуска, тройка nк, nк + 2, nк + 6 также не будет тройкой простых чисел, что противоречит индуктивному предположению. Полученное противоречие докаэывает теорему.
Литература:
[ 1 ] Б. С. Кочкарев К методу спуска Ферма. Проблемы современной науки и образования Problems of modern science and education. 2015 №11(41) c. 7- 10
[ 2 ] С. Cингх Великая Теорема Ферма. МЦНМО 2000
