Просто умножение.
Знаете загадку про яблоки на березе?
Росло четыре березы, на каждой березе по четыре больших ветки, на каждой большой ветке по четыре маленьких ветки, на каждой маленькой ветке по четыре яблока. Сколько всего яблок?
В моем детстве эта задача была довольно популярна, да и теперь ее не все забыли, недавно встретилась в какой-то олимпиаде для первоклашек. Ответ подразумевается "яблоки на березе не растут", но условие привлекает внимание многократное "а на каждой ... по 4...", и если бы это были яблони, а не березы, то в итоге следовало бы возвести 4 в четвертую степень. Чем-то манит нас это повторяющееся умножение. И нам никто не запрещает просто придумать задачу в которой надо несколько раз умножать число само на себя.
Папа купил на восьмое марта три букета (маме и дочкам), а в каждом букете по три розы. Сколько роз купил папа?
Или
К маме подошли два сына, каждый протянул к ней по две руки, а мама положила в каждую руку по две конфеты. Сколько конфет дала мама сыновьям?
Если так не интересно, то можно придумать условие, в котором повторяющиеся цифры не прихоть автора, а "необходимость":
У Пети (у любого человека, конечно, но ребенку иногда приятно решать задачи с его именем) 2 родителя. У каждого из его родителей - тоже по 2 родителя. Сколько у Пети бабушек и дедушек?
Или
Ксюша любит плести косички из веревочек. Чтобы заплести одну косу надо 3 веревочки. Ксюша захотела заплести косичку из косичек. Сколько веревочек ей потребуется?
Или вспомним про размножение бактерий, тоже недавно похожая в олимпиаде встретилась (кстати, олимпиада была по биологии):
Если поместить бактерию в банку, то через 4 минуты она разделится и превратится в 2 бактерии, еще через 4 минуты каждая из них поделится еще на две. Сколько бактерий станет в банке через 12 минут?
Картинка прилагалась примерно такая:
Мы можем упростить задачу, пусть бактерии живут до деления по одной минуте, тогда и за десяток выходить не придется, и сразу понятно сколько делений пройдет за 3 минуты.
Геометрическая интерпретация.
Перед тем, как начать складывать квадратики и кубики из конструктора и сахара - рафинада, посмотрим на фотографию ложек.
Во сколько раз большая ложка больше, чем маленькая? Смотря что имеем ввиду! Если говорить о длине ложки - то они отличаются в 2 раза, если нам надо покрыть их слоем позолоты, то на большую потребуется в 4 раза больше, а если главное для ложки - это объем, то отличаются они в 8 раз! Так что, когда мы говорим во сколько раз одно больше другого, надо убедиться, что собеседник понимает про какую величину идет речь.
Сколько квадратных деталей конструктора надо взять, чтобы сложить из них квадрат со стороной в 2 раза большей, чем одна деталь?
Задачи про конструктор чем хороши - их можно делать с конструктором в руках и наглядно показывать ребенку чего мы от него хотим. Согласитесь "Со стороной в 2 раза большей, чем одна деталь" - на слух плохо воспринимается, а вот квадратик из шоколада гораздо понятнее. Можно вообще не заморачиваться с условием, показать квадратик и спросить сколько в нем маленьких квадратов.
А если удастся найти удачный сахар - рафинад, то можно и трехмерные кубики складывать.
Сколько кубиков сахара - рафинада надо взять, чтобы сложить из них кубик, размером в 2 кубика по каждой стороне?
Комбинаторная интерпретация.
Когда-то я целенаправленно задумалась о том, где "в жизни" могут возникать задачи на возведение в степень больше третьей. Как-то квадраты и кубы с геометрией ассоциируются, а в многомерные пространства мы по дороге из дома в магазин не выходим. Немного пришлось подумать, прежде чем вспомнилось про существование комбинаторики.
Эти задачи и для взрослых не всегда привычны, так что запасаемся шпажками для канапе, начинкой на выбор и начинаем считать.
Если начинки нет совсем, то к столу мы можем подать только пустые шпажки - грустно и почти неинтересно. Теперь предположим, что у нас есть два варианта начинки: на половину шпажек нанизываем одну - на вторую половину - другую. Две начинки и два вида канапе - пока все просто. Но вдруг мы обнаруживаем, что на шпажке осталось еще место. На него претендуют все те же две начинки, причем мы хотим приготовить как можно больше разных вариантов. Для этого берем все шпажки с начинкой номер 1 (например, клубникой), делим на две части и на одну часть надеваем еще по одной клубнике, а на вторую добавляем другой начинки (смородины). Шпажек с клубникой у основания стало два вида! Аналогично поступаем со смородиновыми канапе, их тоже становится два вида. Теперь считаем: по первой ягоде у нас было два вида канапе, а из каждого из них мы сделали по два вида "двухягодных", а всего 2×2=2²=4. Хочу сразу обратить внимание на то, что канапе, отличающиеся порядком надевания ягод считаются разными. Оно и правильно, кто-то любит кислое сладким заедать, а кто-то наоборот.
А перед тем как добавить на закуску третью ягодку, посмотрим задачу, в которой не важен порядок добавления ингредиентов, а важно только их наличие. Например, молочный коктейль.
Достаем из холодильника бутылку молока, выливаем из нее половину содержимого в емкость для блендера, добааляем туда же смородину и взбиваем. Только что у нас был один напиток (молоко), а стало два (молоко и коктейль). То есть смородина позволила увеличить количество напитков в два раза. Сможем ли мы повторить этот успех с помощью другого вида ягод? Конечно! Берем оставшееся молоко, делим пополам и в одну часть добавляем клубнику, а в другую - нет. Аналогично поступаем со смородиновым коктейлем.
Получается, что мы два раза удваивали ассортимент напитков и их стало не 1, а 2², то есть 4. Обратим внимание, теперь не важно в какой последовательности брать ягоды, важен только факт их наличия, а еще у нас появился "коктейль" совсем без ягод, и он тоже считается!
А чтобы лучше разобраться, в чем принципиальная разница между этими задачами, предлагаю добавить еще одну ягоду.
Теперь мы выбираем что надеть на шпажку первым: смородину, клубнику или малину - это сразу три варианта, а на оставшееся место снова претендуют три ягоды, увеличивая в три раза количество комбинаций. Если на шпажке места по-прежнему хватает на две ягоды, то мы остановимся на 3×3=3²=9 видах канапе.
А с коктейлями все проще: берем уже готовые 4 напитка и решаем добавлять ли в них малину. Снова разделим содержимое каждого стакана на две части и добавим новую ягоду только в одну из них. Теперь ассортимент вырос до 4×2=2³=8 напитков. Если вы знаток по теме цифровизации, то можете ребенку в этом месте рассказать что такое бит, байт и юникод, хотя там последовательность нулей и единиц как раз важна.
На этом с возведением в степень можно заканчивать, самое время все наглядные пособия употребить по назначению.
Приятного аппетита!