Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые двадцать семь частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13;
27. Великая комбинаторика.
Задача
Футбольный матч "Зенит"-"Динамо" завершился со счётом 9:3. Докажите, что в этом матче был момент, когда "Динамо" уже забило столько, сколько "Зениту" ещё оставалось забить.
Решение
Рассмотрим общее количество забитых голов в матче. Изначально оно равно 0, в конце - 12. При этом с каждым забитым голом эта сумма увеличивается на один. Поэтому эта сумма принимает все промежуточные значения, в том числе и 9.
Рассмотрим тот момент, когда общее количество голов в матче равно 9. Если "Динамо" забило х из них, то "Зенит" забил 9-х, то есть ему осталось забить х. Это и есть искомый момент, существование которого требовалось доказать.
В самом матче был момент, когда счёт стал 6:3, но для задачи это неважно.
Комментарий
Использованная идея, которую школьники зачастую считают очевидной, на самом деле достаточно важна - ведь она использует соображения непрерывности, пусть и в дискретном случае. На этой же идее основаны и более сложные задачи.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.