Меня попросили привести пример задания, которое бы было "магическим листочком" для восполнения пробелов из начальной школы (просили для 5-6 класса, но работает и в 10).
Давайте проанализируем темы начальной школы. В математике 1-2 класс это начальные сведения о числе, четыре действия арифметики и текстовые задачи. Всё. Больше нет ничего, что заслуживало бы внимания. Никаких множеств, как бы ни хотела Петерсон впихнуть 1 курс мехмата в началку, уравнений, формальной логики и вообще. Если с этим всё в порядке, то можно не париться, и работать дальше.
Но если ребёнок ошибается в умножении и делении или не может решить любую задачу (всё в натуральных числах), значит, начальная школа не справилась, и нужна коррекция.
Для того, чтобы научить решать задачи нужна целая технология с обучением смысловому чтению Текста (потому что, как правило, проблема если есть, то там). И эту тему я тут не охвачу.
А для того, чтобы научить вычислять, требуется совсем немного.
Допустим, ученик "разучился" умножать.
В кавычках, потому что разучиться можно только тогда, когда раньше умел. Разумеется, заставлять учить таблицу умножения восьмиклассника бесполезно (его уже заставляли, а толку?).
Все 4 действия арифметики так или иначе сводятся к сложению. Чтобы ребёнок мог выполнить любое действие с любыми числами нужны две вещи: 1 умение складывать, 2 видеть связь между нужным действием и сложением.
1
Первую вещь нужно изучать на натуральных предметах. Хорошо зарекомендовали себя болты и гайки или палочная экономика. Ребят постарше (класс 6-8) можно и на бумажке обучать без предметов, но лучше всё-таки с предметами.
2
Например, мы хотим научить ребёнка умножению. Для этого даём ему складывать числа "по цепочке". Цепочка сложений может выглядеть как-то так: 3+3+3+3+3. В заданиях начального уровня часть цепочки может быть уже пройдена. Очень полезно включать задания на дополнение до круглого (54+6, 45+5). В предложенном примере задания в столбиках представляют готовую цепочку с "пропусками" (45+5 -> 75+15), "дублями" (25+5+5) и "перескоками" (60+24):
Обратите внимание, что сначала подбираем более "удобные" числа: 2, 5, 6, 11, 21, 25, 75, 625, 9, 19, 98, 1980, и тп. Потом и более сложные: 4, 8, 12, 23, 182, 3026, 7, 17... и тп.
Второй этап умножения - это последовательное сложение по всей цепочке. Технически, цепочка для умножения, например, 43*82 должна содержать 82 строки: 43, 86, 129, 172... 3440, 3482, 3526. Что, естественно, нерентабельно, поэтому ребёнок пишет цепочку единицами (43..430), а потом выполняет сложение десятками (430, 860... 4300). Удобнее всего выписывать цепочки в столбики с нумерацией строк. Должно получиться примерно так:
Если мы ожидаем проблемы в сложении (а мы ожидаем), то можно сделать заготовку, в которой уже будут готовые строчки (что и отражено в примере)
Заметили, что это безумно походит на таблицу умножения? Это её, так сказать, "расширенная версия". Конечно, учить её не надо, надо натренироваться её строить.
Это всё пока ещё не умножение. Это лишь подготовка ребёнка к тому, чтобы он смог воспринять умножение, как сложение, а не как готовые ответы к примерам. И вот следующее задание как раз может быть стыкующим звеном.
Задания подобраны таким образом, чтобы составляя цепочку ребёнок мог ухватить некоторые закономерности, которые принято называть приёмами быстрого счёта. Чем раньше он их заметит (не услышит, а именно сам увидит), тем лучше будет считать дальше.
Хотя, кое-какие важные закономерности можно даже требовать использовать:
В этот момент, собственно, мы и приходим к классическому умножению "столбиком", но не сверху, а как бы изнутри. Ребёнок в большинстве случаев сам может его изобрести. Такой "внутренний" алгоритм будет выглядеть несколько иначе. Он будет видеть что-то на подобии маршрута по этим столбцам: 17*358 = (1->2->3->30->300) + (3->5->50) + (1->2->4->8) = (17->34->51->510->5100) + (51->85->850) + (17->34->68->136) = 5100+850+136=6086
С одной стороны, этот маршрут немного длиннее классического 1*8=8 -> 7*8=56 -> 8_+56=136 -> 1*5=5 -> 7*5=35 -> 5_+35=85 -> 1*3=3 -> 7*3=21 -> 3_+21=51 -> 51__+85_+136=6086. Но с другой стороны, у него есть масса преимуществ.
Во-первых, этот маршрут ребёнок изобрёл сам. Он его увидел. Даже если он выбрал не самый оптимальный (обратили внимание, что есть повторы?), этот маршрут он пройдёт быстрее даже самого оптимального, но навязанного сверху.
Во-вторых, каждый шаг этого маршрута ребёнку понятен, а значит, он не запутается, не забудет сдвинуть разряды и т.д.. Вплоть до того, что сможет выполнить его в уме вообще без записей.
В-третьих, не требуется обращения к пресловутой таблице умножения (в классике - аж 6 раз, в том числе, два тривиальных с единицей), которая имеет свойство забываться классу к 5му как раз.
И в качестве "вишенки на торте" можно предложить ребёнку применять весь арсенал "маленьких хитростей", в том числе перестановка множителей, умножение не до 10, а до степени двойки, разложение на множители и прочих.
Деление
Всё это можно со стопроцентным успехом применить и в делении. Статья "что же случилось с делением", где я разбирал именно такой подход к делению (да, делить сложением), в своё время подняла мой канал на монетизацию, но тогда мало кто понял, что я имею в виду. Даже когда выпустил дополнение, проясняющее этот вопрос, и тогда не все поняли о чём я. Видимо, никто просто не проходил подобные цепочки, и не понимает, что можно умножать без таблицы умножения.