Новая философия математики
Фрактал — это слово, изобретенное Бенуа Мандельбротом для того, чтобы
объединить под одним заголовком обширный класс объектов, которые сыграли
историческую роль в развитии чистой математики. Классическую математику XIX в. от
современной математики отделяет великая революция идей. Корни классической
математики лежат среди правильных геометрических структур Евклида и
поступательной динамики Ньютона. Современная математика начинается с
канторовой теории множеств и заполняющей пространство кривой Пеано.
Исторически революция была вызвана открытием математических структур, не
умещавшихся в рамках построений Евклида и Ньютона. Эти новые структуры
рассматривались как «патологические» как некая «выставка чудовищ», вроде
кубистской живописи и атональной музыки, перевернувших примерно в то же время
установленные стандарты хорошего вкуса в искусстве. Математики же, сотворившие
этих чудовищ, считали их важными свидетельствами того, что мир чистой математики
содержит в себе необыкновенное изобилие возможностей, далеко выходящее за
рамки тех простых структур, что можно наблюдать в Природе.
И тут, как отмечает Мандельброт, Природа сыграла с математиками шутку.
Возможно, математикам XIX в. недоставало воображения — Природа же никогда
таким недостатком не страдала. Как оказалось, окружающим нас и хорошо знакомым
нам объектам всегда были присущи те самые патологические структуры, которые
математики изобрели, чтобы избавиться от уз натурализма XIX в.
Б. Мандельброт
«Фрактальная геометрия природы»
Почему геометрию так часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин — ее
неспособность описать форму облака, горы, дерева или береговой линии. Облака не
являются сферами, горы — конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью
окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии — прямолинейным.
В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и
фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами Природа демонстрирует не
просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности. Количество
различных масштабов длины в естественных формах можно считать бесконечным для
каких угодно практических задач.
Существование таких феноменов бросает нам вызов и побуждает заняться подробным
изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» —
исследовать, так сказать, морфологию «аморфного». Математики же пренебрегли этим
вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий,
которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем.
Рискнув ответить на вызов, я задумал и разработал новую геометрию Природы, а также
нашел для нее применение во многих разнообразных областях. Новая геометрия способна
описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и
породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые я называю
фракталами.
Новая геометрия
С момента выхода книги Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» началось
бурное развитие фрактальной геометрии. Фракталы обнаружили практически во всех
естественных явлениях и процессах. «Сейчас анализ на фрактальных множествах развит в
той же мере, что и анализ на гладких многообразиях», — говорит Р. Стричартц, профессор
американского университета Корнелл. Идеи и достижения новой геометрии нашли самые
разнообразные приложения. Фрактальные модели применяют в медицине для ранней
диагностики раковых опухолей; в геологии и почвоведении; в материаловедении при
изучении процессов разрушения изделий; в ядерной физике и астрономии для изучения
элементарных частиц, распределения галактик во Вселенной, процессов на Солнце; в
информатике для сжатия данных и улучшения трафика в сети Интернет; для анализа
колебаний рыночных цен в экономике, сердечного ритма в кардиологии, погоды в
метеорологии; в химии, искусствоведении… — перечень можно продолжать бесконечно.
Всем этим человечество обязано математику Бенуа Мандельброту. То, что новую науку
со столь широкими приложениями создал один человек, выглядит невероятным. В наше
время все значительные достижения науки и технологий являются плодами работы
коллективов. Время одиночек–энциклопедистов прошло, специализация достигла такой
степени, что одному человеку не под силу охватить даже основные идеи из разных
областей. Для этого надо быть гением. Но многие так и считают: открыв фракталы, Б.
Мандельброт совершил переворот в физике, утверждают авторы книги «От Ньютона до
Мандельброта» (Штауффер Д., Стэнли Х.Е.).