Натуральное число n называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число n. Очевидно, из всех четных чисел существует только одно четное число 2, которое является простым. Все остальные простые числа являются нечетными. Если мы все натуральные числа разобьем на классы в зависимости от того, какой остаток при делении на 4 получается, то получим 4 класса. В один класс войдут все числа, которые делятся на 4. Во второй класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают остаток 1. В третий класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 2 и, наконец, в четвертый класс войдут все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Все натуральные числа из второго класса, что было доказано нами и замечено Ферма, являются суммами двух квадратов, а все натуральные числа из четвертого класса никогда суммами двух квадратов не будут. Более того, мы доказали, что все простые числа из второго класса могут быть получены из простого числа 5, а все простые числа из четвертого класса получаются из простого числа 3, тем самым мы получили возможность получать последовательно все натуральные числа первого и второго рода, о чем мечтали многие поколения математиков.
С уважением, Б. С. Кочкарев