‒ Существует бесконечное множество точек, координаты которых удовлетворяют данному равенству…
‒ А бесконечно много, это сколько?
‒ Бесконечно много.
‒ Да, я понимаю. А число какое?
Потом выяснили, что самого большого числа не существует. Так как к любому числу можно прибавить единицу и получить большее число.
Как сравнить две бесконечности?
В математике различают два вида бесконечностей. Те которые поддаются счету, и совершенно дурные, которые даже посчитать нельзя. Первые называются счетными. Самый простой пример - множество натуральных чисел. Попытка сосчитать займет бесконечно много времени, но счет возможен.
Соответственно, если элементы некоего множества поддаются пересчету, оно будет счетным. Говорят, что существует взаимно однозначное соответствие между элементами множества и натуральными числами. Иными словами элементы множества пронумерованы.
Целые и рациональные числа - счетные множества. Например, для целых чисел можно построить отображение по следующему правилу: 0 - первый элемент; 1 - второй; -1 - третий; 2 - четвертый; -2 - пятый; и т.д.
Возможность пересчитать элементы действует успокоительно. И это самый подходящий момент, чтобы рассказать о несчетных множествах.
Сколько точек на отрезке?
Много, очень много, бесконечно много, несчетное количество. Если внимательно вчитаться в парадоксы Зенона, то можно заметить, что для их разрешения не хватает непрерывности. Таким свойством обладает множество действительных чисел. Поэтому их невозможно пересчитать.
Разрешая одни парадоксы, свойство непрерывности приводит к другим, более странным вещам.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Из каждой точки на гипотенузе опустим перпендикуляр на один из катетов. Таким образом каждой точке на гипотенузе найдётся в пару одна точка на катете. А значит количество точек одинаковое.
Спускаемся глубже в кроличью нору. В 1877 году Георг Кантор доказал наличие взаимно однозначного отображения между точками плоскости и прямой. Это стало шоком, как для него, так и для большинства математиков. Фактически с этого открытия началась новая веха в изучении математики.