Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу затронуть интересную тему, которая изначально касается математической логики. В курсе математического анализа студентам часто приходится слушать такие формулировки "достаточным условием является", "необходимым условием является", "является необходимым и достаточным условием" и т.д
- Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
- Необходимым признаком сходимости числового ряда является стремление общего члена ряда к нулю.
- Для того, чтобы быть параллелограммом достаточно быть прямоугольником.
А еще задачи с параметрами, если Вы понимаете о чём я...
Чтобы разобраться со всем этим добром, начнем с формальной логики. Пусть существуют высказывания A и B:
- А - "Четырехугольник является квадратом";
- B - "Четырехугольник является ромбом".
Из двух высказываний мы всегда можем построить импликацию "если А, то B". В нашем случае это выглядит так:
"Если четырехугольник является квадратом, то он является ромбом"
И это высказывание имеет право на жизнь, ведь квадрат - это частный случай ромба. А что, если импликацию перевернуть?
"Если четырехугольник является ромбов, то он является квадратом"
И это утверждение, очевидно, неверное, т.к. у ромба могут быть углы, не равные 90 градусам.
И вот здесь, как говорится, и заключается вся "соль" необходимости и достаточности":
- Для того, чтобы четырехугольник являлся квадратом, необходимо, чтобы он был ромбом;
- Для того, чтобы четырехугольник был ромбом, достаточно, чтобы он был квадратом.
Отойдем немного от геометрии в сторону арифметики. Для целых чисел, больших двух, нечетность является необходимым условием, чтобы быть простым.
Два - единственное целое число, которое является одновременно четным и простым
Очевидно, что это условие не является достаточным, ведь не каждое нечетное число является простым. Таковым является делимость числа только на себя и на единицу. Таким образом, нечетность для простых чисел, больших 2, - это свойство (необходимое условие), а делимость только на себя и на единицу - это признак (достаточное условие).
Конечно, не математикой мы едины, поэтому стоит привести и примеры из окружающего мира:
- Рассмотрим гром (звук), вызванный молнией. Говорят, что гром необходим для молнии, поскольку молния никогда не возникает без грома. Всякий раз, когда есть молния, есть и гром. Гром не вызывает молнию (поскольку молния вызывает гром), но поскольку молния всегда сопровождается громом, мы говорим, что гром необходим для молнии. Очень важный пример, в том смысле, что необходимость не подразумевает причинность.
- Возникновение грома является достаточным условием для возникновения молнии в том смысле, что услышав гром, можно быть уверенным, что произошел удар молнии.
Вместе с тем, существуют ситуации, описываемые необходимостью и достаточностью одновременно. Например, рассмотрим фразы:
- Если треугольник является прямоугольным, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей стороны.
- Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.
Необходимое и достаточное условие называется критерием. Очень часто с этим можно встретиться, например, в общей топологии, где типичные доказательства состоят из двух частей: доказывают стрелку вправо (необходимое условие), а затем стрелку влево (достаточное условие), тем самым доказывая эквивалентность высказываний.
- Спасибо за внимание!
