Второй признак равенства треугольников
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вспомнить второй признак равенства треугольников на примере решения задачи 123 из 9-го издания учебника по геометрии для 7-9 классов авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняк и И. И. Юдиной под научным руководством академика А. Н Тихонова.
Условие:
На биссектрисе угла A взята точка D, а на сторонах этого угла – точки B и C такие, что угол ADB равен углу ADC. Докажите, что BD = CD.
Решение:
Биссектриса угла – луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла (глава I, §3 п.6).
Сделаем чертёж условия задачи:
По условию задачи угол ADB равен углу ADC.
Сторона AD является общей у треугольников ADB и ADC. Кроме того, равными являются углы DAB и DAC, так как по условию задачи, точка D лежит на биссектрисе угла A (угла BAC).
В главе II §3 п.19 учебника приводится теорема, доказывающая второй признак равенства треугольников:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство этой теоремы приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам важно, что так как углы ADB и ADC равны между собой и углы DAB и DAC тоже равны, а сторона AD является общей у треугольников ADB и ADC, значит треугольник ADB равен треугольнику ADC по второму свойству равенства треугольников – исходя из равенства сторон и двум прилежащим к ним углам.
В главе II §1 п.14 учебника на странице 29 отмечается, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т.е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
В нашем случае это означает, что поскольку треугольник ADB равен треугольнику ADC и при этом угол DAB равен углу DAC, противоположные им стороны равны, то есть:
BD = CD, что и требовалось доказать.