Я стараюсь до Нового года написать про каждое число что-нибудь интересное, — и вот число 26 для меня связанно с теорией групп.
Это важное понятие в математике. Французский математик Эварист Галуа опирался на свойства групп, когда доказывал, что невозможно выразить решения алгебраических уравнений пятой степени формулами вроде тех, которые существуют для решения уравнений меньших степеней. Было это не так давно, меньше 200 лет назад.
Позднее выяснилось, что группы встречаются и в других областях. Чтобы построить группу, надо взять множество с операцией на нем, причем у операции должны быть приятные свойства. Например, целые числа с операцией сложения образуют группу. У операции есть приятные свойства:
1) существует нейтральный элемент (0) — к какому числу его ни прибавь, то же число в результате и получится.
2) у каждого элемента есть обратный, как -12 и 12, взаимно обратные элементы в сумме дают 0.
Еще пример группы — повороты кубика Рубика. Нейтральный элемент здесь — "пустой поворот", то есть поворот на 0 градусов. А обратный поворот -- это просто поворот в другую сторону.
Числа на циферблате часов тоже образуют группу по сложению с нейтральным элементом 12 (если сейчас 7 часов, то через 12 часов будет опять 7 ). А элемент, обратный к 7 — это 5, ведь в сумме они дают 12. Симметрии куба, векторы на плоскости — это все тоже группы.
Постепенно математики набрали много примеров групп и поняли, что хорошо бы навести в них порядок — классифицировать их. Довольно быстро обнаружились 18 "типовых" серий. Но иногда встречались группы, которые не помещались ни в какое семейство — спорадические группы. Охота за ними напоминала охоту за новыми химическими элементами или за новыми элементарными частицами в физике. Вот эти-то группы, без роду и без племени, найти было трудно.
И тогда в 1970-х годах, примерно полсотни лет назад, под руководством Даниэля Горенштейна был разработан план по обнаружению всех этих спорадических групп. По плану задача была разбита на большие и малые подзадачи, распределена между математиками всего мира, и за 10 лет больше чем 100 человек наконец-то выполнили этот план — обнаружили все спорадические группы, оказалось, что их ровно 26. Так что 26 — это число спорадических простых групп в теории групп. Одному человеку не под силу описать все группы, а все вместе разбили доказательство теоремы классификации на кусочки, каждый опубликовал свой кусочек, общий объем доказательства превосходит 3000 страниц.
Возможно, когда-нибудь математики построят более простое и элегантное доказательство. А может быть и нет, — ведь новое доказательство потребовало бы принципиально новых идей