Гипотеза Ко́ллатца (3∙N + 1 диле́мма, сираку́зская проблема, проблема чисел-градин) – одна из нерешённых проблем математики (то есть не доказанная математиками гипотеза). Названа по имени немецкого математика Лотара Коллатца (1910 – 1990), сформулировавшего эту задачу 1 июля 1932 года (в возрасте 22 лет). Эта гипотеза касается бесконечного ряда натуральных чисел (N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …) и получила широкую известность благодаря своей предельной простоте.
Алгоритм вычисления чисел-градин (G) у любого числа N:
1). если N – чётное число, тогда G ≡ N/2,
если N – нечётное число, то G ≡ 3∙N + 1,
2). если получаем G > 1, то берем G в качестве N и переходим на пункт 1),
если получаем G = 1, то алгоритм завершен (для данного числа N).
Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное натуральное число N мы ни взяли – указанный алгоритм будет завершен. То есть всегда получим число-градину G = 1 и после этого бесконечное количество раз будут повторяться такие числа: 4, 2, 1, то есть числа-градины у N= 1.
И вот эту, казалось бы, нехитрую гипотезу Коллатца математики не могут доказать уже 90 лет. При этом в интернете можно обнаружить «доказательства» гипотезы Коллатца (автор и сам видел подобное: на 10 страницах, исписанных нетривиальными формулами, и даже оформленными по всем правилам математической статьи), однако вероятность правильности таких «доказательств» устремляется к нулю. Этому учит нас вся история доказательств в теории чисел – архисложном разделе высшей математики. Самый яркий пример этому – доказательство Великой теоремы Ферма, которую математики не могли доказать более трёхсот лет, а когда наконец доказали (в 1994 году), то полное доказательство занимало около 200 листов. И это доказательство во всем мире смогли понять (и главное – проверить) всего несколько весьма узких специалистов даже в рамках самой теории чисел.
Градины (G) числа N – так мы будем называть все числа (G), полученные по выше указанному алгоритму для числа N. Мы будем подразумевать, что градины числа N всегда расположены в порядке их появления согласно выше приведенному алгоритму. То есть этот алгоритм для любого числа N порождает уникальный набор градин (Gg).
Например, для числа N = 27 мы получим 111 градин, которые представлены (в виде красных точек) на Рис. Это такие градины: G = 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 53, 61, …, 9232 (это Gmax с порядковым номером g = 77) , …, 23, …, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 (только 9-ть градин меньше самого числа N = 27, и эти градины расположены ниже чёрной линии на нашем графике.
Откуда такое название – «гра́дины»? Просто на графике эти числа (G) похожи на хаотичные траектории движения ледяных градин в атмосфере, где они случайным образом увеличивают свой размер (до 2 ÷ 130 мм) и набирают вес (до 1 кг), а затем неизбежно падают на землю (G = 1 на графике Рис.). У выбранного здесь числа N = 27 количество всех градин (111) больше (причем в несколько раз), чем у любого из предшествующих чисел (N = 1, 2, 3, 4, …, 26), то есть число N = 27 – это первый рекордсмен в части (довольно редких) чисел N наиболее «богатых» градинами.
Сиракузские последовательности (известные ещё древним мудрецам?) далее для краткости текста мы будем называть просто градинами (набором градин у данного числа N). Наборы градин у первых 16-ти чисел N представлены в Табл. (числа на зеленом фоне). Набор градин (у любого натурального числа N) мы будем характеризовать целым рядом параметров, например, такими как: длина (L), высота (H), чётность (Е), цвет числа N, цвет (С) набора всех градин у числа N. Подобные параметры (список которых можно расширить) заметно упрощают разговор о числах-градинах. Приведем самые первые сведения о некоторых из этих параметров (просто для примера).
Длина (L) набора градин у числа N – это количество всех чисел-градин (G) у данного числа N (включая конечную единицу, но само число N в длину L мы не включаем). Например, у числа N = 7 его набор градин имеет длину L = 16.
Высота (Н) набора градин у числа N – это наибольшее число-градина (G= Gmax) в данном наборе градин.
Чётность (Е) набора градин у числа N – это отношение количества (К2) всех чётных градин (G) к количеству всех градин данного набора, то есть E ≡ К2/L.
Чёрная градина – так мы будем называть всякую градину (G) у числа N, если она превосходит само N (если G > N). Тем самым мы принимаем, скажем так, чёрную гипотезу: гипотеза Коллатца выполняется для всех чисел, которые меньше нашего N. При этом подразумевается, что мы, перебирая по порядку все натуральные числа N= 1, 2, 3, 4, … (см. Табл.), уже убедились в выполнении гипотезы Коллатца для всех чисел, меньших N. Однако надо ясно понимать, что наша чёрная гипотеза умышлено заметно ухудшает («очерняет») ситуацию в части выполнения гипотезы. Например, вычислив у числа N = 3 все градины (G = 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, см. Табл.), мы уже точно знаем, что и для чисел 10, 5, 16, 8, 4 (все они – чёрные градины для числа N= 3) – гипотеза Коллатца безусловно выполняется, иначе бы эта гипотеза не выполнялась и для самого числа N = 3. Однако, в силу чёрной гипотезы, мы как бы не знаем, что у чисел N = 4, 5, 8, 10, 16 гипотеза Коллатца выполняется.
Цвет (W) числа N – так мы будем называть следующий вещественный параметр: W ≡ Kв/N, где Kв – это количество всех чёрных градин (G) у числа N, то есть градин, которые больше самого числа: G > N. Числа N, у которых нет чёрных градин (Kв = 0) мы назовем белыми числами (у них W = 0).
Если в мире градин тщательно исследовать (на компьютерах, а ещё лучше аналитически, то есть только с помощью «карандаша и бумаги») приведенные выше и им подобные параметры у первых чисел N (в идеале: при N → ∞), то можно прийти к главному утверждению автора, которое условно назовем гипотезой о градинах-имитаторах: в мире градин у чисел N их параметры – это… имитаторы параметров натурального ряда и, в первую очередь, его фундамента – ряда простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, …).
Например (здесь всё упрощаю, а детально об этом говорится в статье на ВК – 35 страниц книжного формата), цвет (W) натуральных чисел N имитирует скорость (V~ 1/K), с которой убывает разность (R ≡ Рк+1 – Рк ~ lnK) соседних идеальных простых чисел. Идеальные простые числа растут по закону: Рк~ K∙lnK, где K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … – это порядковый номер числа Р (в ряде всех простых). При этом, в рамках числофизики автора, K – это счётчик квантов времени. Поэтому, возможно, что доказательство гипотезы Коллатца эквивалентно, доказательству того, что цвет (W) чисел N действительно имитирует скорость (V). Поэтому сомнения в гипотезе Коллатца – равносильны сомнениям в том, что при K→ ∞ указанная скорость (равная: V ~ 1/K) не устремляется (асимптотически) к нулю.
В мире градин многие другие параметры чисел N также имитируют тот или иной параметр мира простых чисел (см. выше ссылку на ВК), поэтому гипотеза автора о градинах-имитаторах может оказаться вполне реальной.
Законы мира градин имитируют [подражают, воспроизводят, копируют многие законы простых чисел (законы теории чисел – сложнейшего раздела высшей математики)]. Причина такой имитации кроется, скорее всего, в похожем «внутреннем устройстве» мира градин и простых чисел – в обоих этих мирах возникает иллюзия господства Его Величества Случая (псевдохаоса). А «иллюзия» – поскольку на самом деле эти миры строятся по «железобетонным алгоритмам» (см. выше алгоритм вычисления чисел-градин и Пирамиду делителей натуральных чисел, она есть у меня на Дзене), то есть эти миры абсолютно детерминированы (однозначная предопределённы, там нет места случаю, однако возникает яркая иллюзия случайности).
Пал Э́рдёш (1913 – 1996) – знаменитый венгерский математик, один из наиболее продуктивных математиков XX века (количество написанных им научных статей – более 1500) так сказал про гипотезу Коллатца: математика ещё не созрела для таких вопросов [то есть якобы требуется некий новый язык математики]. Однако из предлагаемой статьи (см. выше ссылку на ВК) напрашивается вывод, что таким языком может оказаться давно (ещё со средних веков) известная теория вероятностей – раздел высшей математики (в которой, кстати, и сам Эрдёш был крупным специалистом), изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. По мнению автора, мир простых чисел (как и мир градин) – это лучший имитатор случайных событий. Возможно, именно поэтому существует глубочайшая связь теории чисел и … фундаментальной физики. И уже совсем точно, что именно поэтому ещё в 1997 году у автора возникла идея о числофизике (все труды которого представлены на вэб-сайте «ВКонтакте» в двух сообществах «Числофизика»).
05.12.2022, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2022