Дело в том, что звуков [ж] и [ш] не было в праиндоевропейском языке (опять он?! Да, опять он).
Были звуки [г] и [к].
Они же перетекли в праславянский. И ещё в древнерусском языке видно, что раньше они в подавляющем большинстве случаев были твёрдыми, например:
⭐️"хитрый" был "хытрым"
⭐️"(с)гинуть" - "гынути"
⭐️"кипеть" - "кыпети"
Но в какой-то момент эти [к] и [г] стали у нас (праславян) всё чаще оказываться перед мягкими гласными, и мы (праславяне) решили, что это некрасиво/неудобно/не по-мужски.
Тогда и произошёл процесс, который называют "первой славянской палатализацией".
Он заключался в том, что все заднеязычные звуки - [к], [г], [x] - которые оказались перед мягкими гласными - [и], [е] - не смогли нормально смягчиться, и превратились в совсем другие, новые звуки, [ч], [ж] и [ш].
В грамматике эти процессы видны до сих пор:
⭐️нога - ноженька
⭐️рука - рученька
⭐️тихо - тише
И первое время все эти новые звуки - [ш], [ж] и [ч] произносились исключительно мягко. Как и положено перед мягкими гласными. Для этого их и изобретали.
Но со временем...
Если звук [ч] сохранил свою палатализованную природу, и так и остался у нас навсегда мягким, то [ж] и [ш] со временем "затвердели".
Получается, что язык отражает древнее произношение, а мы с XIV века произносим иначе, и вот уже шестьсот лет учим детей этому нелогичному правилу - "жи-ши пиши с буквой и".