Этот парадокс открыт британским математиком и философом Бетраном Расселом (Betrand Russell) в 1901 году и состоит он в следующем.
Рассмотрим множество M, заданное следующим образом: «Множество всех предметов, описываемых семью русскими словами». Казалось бы нет ничего проще. Можете описать нечто с помощью в точности семи русских слов, оно попадает в M, иначе нет. Кстати, сколько русских слов нам понадобилось для описания самого множества M? Подсчитаем — в точности 7, ни больше ни меньше. Выходит, множество M принадлежит самому себе (M∈M), то есть является элементом самого себя, а не просто своим подмножеством. Есть здесь парадокс? Пока еще нет. Но идем дальше.
Назовем множество расселовым, если оно принадлежит самому себе. В том, что такие множества существуют, мы уже убедились. Пусть R — множество всех нерасселовых множеств. Само множество R является либо расселовым либо нерасселовым. Каково же оно? Попробуем разобраться.
Допустим, что R — расселово множество. Тогда оно содержится в самом себе. Но, по определению, R содержит все нерасселовы множества, так что R должно быть нерасселовым. Пришли к противоречию. Что же, попробуем по-другому.
Допустим, R — нерасселово множество. Тогда, согласно определению R, оно обязано содержать себя. Но множество содержащее себя является расселовым. Снова противоречие, и это уже парадокс!
Увы, есть единственный выход из парадокса Рассела: запретить существование расселовых множеств. Действительно, современная теория множеств в качестве аксиомы усматривает, что множество не может принадлежать самому себе. Таким образом множество, приведенное в начале статьи — это фантом, существование которого математика отрицает. Как видим, в математике есть также не вполне демократические запреты.