В материале [https://dzen.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/6329b80a9897be2392a42dce] представлены различные операции над нечёткими множествами:
- основное объединение,
- основное пересечение,
- разность,
- симметрическая разность,
- а также альтернативные операции объединения и пересечения (алгебраические и граничные) и др. унарные и бинарные операции.
В текущем материале представим перечень основных законов над указанными операциями над нечёткими множествами, а также покажем, как использовать вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha для доказательства этих и других законов.
Сформулируем следующие законы над нечёткими множествами:
В общем случае для основных операций объединения и пересечения не выполняются законы дополняемости (дополнения):
Для альтернативных операций (алгебраических и граничных) выполняются следующие законы:
При этом как для алгебраических, так и для граничных операций объединения и пересечения над нечёткими множествами не выполняются следующие законы:
Доказать выполнимость (не выполнимость) указанных законов можно использованием вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha.
Пример 1. Используем вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha для доказательства законов идемпотентности объединения и пересечения (см. теорему 1 часть 1).
Для этого используем материал [https://zen.yandex.ru/media/id/603a418d1684900aa2499416/62a1f488277a7c77974d8087] для построения графика нечёткого множества.
Заметим, что недостаток вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha заключается в том, что командное окно имеет небольшой размер (200 символов), что несколько ограничивает в возможностях ввода сложных аналитических зависимостей, поэтому настоятельно рекомендуется использовать те нечёткие множества, которые требуют небольшое число символов для задания функции принадлежности.
Итак, для доказательства закона идемпотентности для пересечения по основной формуле нечётких множеств, задаваемых колоколообразной (bell-shaped) функцией принадлежности, внесём в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha команду:
min[1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))
Получим следующий результат, в котором выдаётся ответ "TRUE", что означает истинность (справедливость) закона идемпотентности для основного пересечения.
Аналогично рассмотрим закон идемпотентности для объединения по основной формуле нечётких множеств, задаваемых колоколообразной (bell-shaped) функцией принадлежности.
Для этого внесём в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha команду:
max[1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))
Получим следующий результат:
Пример 2. Используем вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha для доказательства законов поглощения (см. теорему 1 часть 2).
Для этого поочерёдно в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha введём следующие команды:
min[max[1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))],1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))
max[min[1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))],1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))
Получим следующие результаты, демонстрирующие выполнимость законов поглощения для основных формул объединения и пересечения нечётких множеств, заданных колоколообразной функцией принадлежности:
Пример 3. Используем вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha для доказательства законов де Моргана для объединения и пересечения (см. теорему 1 часть 2).
Для этого поочерёдно в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha введём следующие команды:
1- min[1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal max[1-1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1-1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))]
1- max[1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal min[1-1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)),1-1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))]
Получим следующие результаты, демонстрирующие выполнимость законов де Моргана для основных формул объединения и пересечения нечётких множеств, заданных колоколообразной функцией принадлежности:
Пример 4. Используем вопросно-ответную систему Wolfram|Alpha для демонстрации того, что законы идемпотентности для алгебраического объединения и пересечения не выполняются.
Для этого используем также колоколообразную (bell-shaped) функцию принадлежности, внесём в командное окно вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha следующую команду:
is [1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)) + 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))-1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)) * 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))] is equal 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))
Получим следующий результат:
В котором указано, что "IS NOT ALWAYS EQUAL IS", что означает, что закон идемпотентности для алгебраического объединения в общем случае выполняется не всегда.
Аналогично покажем и для алгебраического пересечения:
is 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)) * 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b)) is equal 1/(1+ abs[(x-c)/a]^(2*b))
Получим результат, подтверждающий, что закон идемпотентности для алгебраического пересечения также выполняется не всегда.
В качестве Упражнения 1 задайте докажите или опровергните остальные законы, показанные в текущей лекции (можно использовать колоколообразную (bell-shaped) функцию принадлежности). В комментарий под лекцией приведите команду для командного окна вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha и результат, выдаваемый Wolfram|Alpha (в виде скрина).
В качестве Упражнения 2 запишите закон или выражение, которое не приводилось в текущей лекции, докажите или опровергните это выражение (можно использовать колоколообразную (bell-shaped) функцию принадлежности). В комментарий под лекцией приведите команду для командного окна вопросно-ответной системы Wolfram|Alpha и результат, выдаваемый Wolfram|Alpha (в виде скрина).
В качестве Упражнения 3 докажите или опровергните следующие законы для нечётких множеств из вариантов:
Варианты нечётких множеств для доказательства или опровержения законов: